Pada Bab transformasi geometri akan dibahas mengenai perubahan posisi dari suatu objek yang didapat dengan cara menggeser, memutar, mencerminakan atau dengan memperbesar objek. pada pembahasan kali ini akan dibahas salah satu Transformasi yaitu Pergeseran $( \text{Translasi} )$, pada dasarnya menggeser objek dapat dibedakan menjadi dua, yaitu menggeser titik dan menggeser kompulan titik yang nantinya disebut garis atau kurva. Untuk lebih jelasnya silahkan perhatikan penjelasan berikut.
Pergeseran/Tranlasi titik
Untuk menggeser titik sejauh $ \begin{pmatrix} a \\b\end{pmatrix}$ dapat dilakukan dengan cara mengganti nilai $a,b,x$ dan $y$ pada rumus berikut.
$\begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+a \\y+b\end{pmatrix}$
dengan $x'$ dan $y'$ merupakan bayangan titik yang digeser, $x$ dan $y$ adalah posisi titik awal, serta $a$ dan $b$ adalah besar pergeseran titiknya.
Pergeseran/Tranlasi kurva
Untuk menggeser kurva ikuti langkah berikut.
Teliti dalam menghitung adalah kunci dalam penyelesaian masalah transformasi geometri
Untuk menggeser titik sejauh $ \begin{pmatrix} a \\b\end{pmatrix}$ dapat dilakukan dengan cara mengganti nilai $a,b,x$ dan $y$ pada rumus berikut.
$\begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+a \\y+b\end{pmatrix}$
dengan $x'$ dan $y'$ merupakan bayangan titik yang digeser, $x$ dan $y$ adalah posisi titik awal, serta $a$ dan $b$ adalah besar pergeseran titiknya.
Pergeseran/Tranlasi kurva
Untuk menggeser kurva ikuti langkah berikut.
- Misalkan objek yang digeser adalah $3x+y=4$ sejauh $ \begin{pmatrix} a \\b\end{pmatrix}$
- Ganti nilai $a$ dan $b$ pada rumus $\begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+a \\y+b\end{pmatrix}$ kemudian dengan konsep persamaan matriks, temukan persamaan dalam bentuk $x=...$ dan $y=...$
- Ganti nilai $x$ dan $y$ pada objek yang digeser dengan persamaan pada point kedua, sehinga jika semua variabel $x$ dan $y$ berubah menjadi $x'$ dan $y'$ maka langkah sudah benar, jika belum maka ada langkah yang keliru
Teliti dalam menghitung adalah kunci dalam penyelesaian masalah transformasi geometri
Jika sudah memahami langkah diatas, coba pikirkan apabila sebuah titik digeser maka apakah hasilnya sebuah titik ?, kemudian jika sebuah garis atau lingkaran digeser apakah hasilnya teyap garis atau lingkaran ? dan apakah ukuranya sama ? coba pikirkan dan temukan jawabanya dengan berlatih beberapa soal berikut ini.
Contoh Soal
Soal No 1
Diketahui sebuah titik $A=(2,3)$, titik tersebut akan digeser sejauh $\begin{pmatrix} -6 \\3\end{pmatrix}$, jika $A'$ adalah bayangan titik $A$ maka kordinat tititk $A'$ adalah ... .
sesuai dengan konsep tranlasi diperoleh
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x+a \\y+b\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}2+(-6) \\3+3\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}-4 \\6\end{pmatrix} \end{align*}$
maka kordinat titik $A'$ adalah $(-4,6)$
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x+a \\y+b\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}2+(-6) \\3+3\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}-4 \\6\end{pmatrix} \end{align*}$
maka kordinat titik $A'$ adalah $(-4,6)$
Soal No 2
Diketahui sebuah titik $B=(m,n)$, titik tersebut akan digeser sejauh $\begin{pmatrix} -2 \\-4\end{pmatrix}$, jika $B'$ adalah bayangan titik $A$ dengan kordinat tititk $A'=(3,7)$ maka nilai dari $m+n$ adalah ... .
Dalam bayangan titik ada, namun titik awal tidak ada maka sesuai dengan konsep tranlasi kita masukan saja nilainya kedalam rumusnya sehingga diperoleh.
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x+a \\y+b\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a \\b\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 \\7\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}(-2) \\(-4)\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 \\7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}(-2) \\(-4)\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3-(-2) \\7-(-4)\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 5 \\11\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} \end{align*}$
maka kordinat titik $A$ adalah $(5,11)$ sehingga nolai dari $m+n = 6+11=17$
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x+a \\y+b\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a \\b\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 \\7\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}(-2) \\(-4)\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 \\7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}(-2) \\(-4)\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3-(-2) \\7-(-4)\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 5 \\11\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} \end{align*}$
maka kordinat titik $A$ adalah $(5,11)$ sehingga nolai dari $m+n = 6+11=17$
Soal No 3
Diketahui sebuah garis $g$ dengan persamaan $3x+4y=12$, Temukan bayangan garis $g$ apabila garis digeser sejauh $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ ... .
Sesuai dengan langkah yang telah diuraikan diatas, maka ambil rumusnya dan ganti nilai $a,b$ sehingga diperoleh
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+a \\y+b\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+2 \\y+3\end{pmatrix} \end{align*}$
Sesuai kesamaan matriks, diperoleh dua buah persamaan yaitu
$x'=x+2$
$y'=x+3$
Ubah kedua persamaan diatas menjadi $x = ...$, sehingga diperoleh
$x'=x+2 \rightarrow x = x' -2 $
$y'=x+3 \rightarrow y = y' -3 $
Substitusi ke objek yang digeser yaitu.
$\begin{align*} 3x+4y &= 12 \\ 3(x'-2)+4(y'-3) &= 12 \\ 3x' -6 +4y' -12 &=12 \\ 3x' + 4y' &=30 \end{align*}$
Jadi bayangan garis g adalah $3x + 4y =30$
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+a \\y+b\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+2 \\y+3\end{pmatrix} \end{align*}$
Sesuai kesamaan matriks, diperoleh dua buah persamaan yaitu
$x'=x+2$
$y'=x+3$
Ubah kedua persamaan diatas menjadi $x = ...$, sehingga diperoleh
$x'=x+2 \rightarrow x = x' -2 $
$y'=x+3 \rightarrow y = y' -3 $
Substitusi ke objek yang digeser yaitu.
$\begin{align*} 3x+4y &= 12 \\ 3(x'-2)+4(y'-3) &= 12 \\ 3x' -6 +4y' -12 &=12 \\ 3x' + 4y' &=30 \end{align*}$
Jadi bayangan garis g adalah $3x + 4y =30$
Soal No 4
Diketahui sebuah kurva $g$ dengan persamaan $3x^2+4y=12$, Temukan bayangan kurva $g$ apabila kurva digeser sejauh $\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ ... .
Sesuai dengan langkah yang telah diuraikan diatas, maka ambil rumusnya dan ganti nilai $a,b$ sehingga diperoleh
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+a \\y+b\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x-2 \\y+1\end{pmatrix} \end{align*}$
Sesuai kesamaan matriks, diperoleh dua buah persamaan yaitu
$x'=x-2$
$y'=x+1$
Ubah kedua persamaan diatas menjadi $x = ...$, sehingga diperoleh
$x'=x-2 \rightarrow x = x' +2 $
$y'=x+1 \rightarrow y = y' -1 $
Substitusi ke objek yang digeser yaitu.
$\begin{align*} 3x^2+4y &= 12 \\ 3(x'+2)^2+4(y'-1) &= 12 \\ 3(x'^2+4x'+4) +4y' -4 &=12 \\ 3x'^2+12x'+12+4y' -4 &=12 \\ 3x'^2+12x'+4y' &=4 \end{align*}$
Jadi bayangan garis g adalah $3x^2+12x+4y=4$
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+a \\y+b\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x-2 \\y+1\end{pmatrix} \end{align*}$
Sesuai kesamaan matriks, diperoleh dua buah persamaan yaitu
$x'=x-2$
$y'=x+1$
Ubah kedua persamaan diatas menjadi $x = ...$, sehingga diperoleh
$x'=x-2 \rightarrow x = x' +2 $
$y'=x+1 \rightarrow y = y' -1 $
Substitusi ke objek yang digeser yaitu.
$\begin{align*} 3x^2+4y &= 12 \\ 3(x'+2)^2+4(y'-1) &= 12 \\ 3(x'^2+4x'+4) +4y' -4 &=12 \\ 3x'^2+12x'+12+4y' -4 &=12 \\ 3x'^2+12x'+4y' &=4 \end{align*}$
Jadi bayangan garis g adalah $3x^2+12x+4y=4$
Soal No 5
Diketahui sebuah kurva $g$ dengan persamaan $x^2+y^2=4$, Temukan bayangan kurva $g$ apabila kurva digeser sejauh $\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$ ... .
Sesuai dengan langkah yang telah diuraikan diatas, maka ambil rumusnya dan ganti nilai $a,b$ sehingga diperoleh
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+a \\y+b\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x-3 \\y+2\end{pmatrix} \end{align*}$
Sesuai kesamaan matriks, diperoleh dua buah persamaan yaitu
$x'=x-3$
$y'=x+2$
Ubah kedua persamaan diatas menjadi $x = ...$, sehingga diperoleh
$x'=x-3 \rightarrow x = x' +3 $
$y'=x+2 \rightarrow y = y' -2 $
Substitusi ke objek yang digeser yaitu.
$\begin{align*} x^2+y^2 &= 4 \\ (x'+3)^2+(y'-2)^2 &= 4 \\ x'^2+6x'+9 + y'^2 -4y'+4 &=4 \\ x'^2+y'^2+6x'-4y'+13 &=4 \\ x'^2+y'^2+6x'-4y' &=-9 \end{align*}$
Jadi bayangan garis g adalah $x^2+y^2+6x-4y=9$
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+a \\y+b\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x-3 \\y+2\end{pmatrix} \end{align*}$
Sesuai kesamaan matriks, diperoleh dua buah persamaan yaitu
$x'=x-3$
$y'=x+2$
Ubah kedua persamaan diatas menjadi $x = ...$, sehingga diperoleh
$x'=x-3 \rightarrow x = x' +3 $
$y'=x+2 \rightarrow y = y' -2 $
Substitusi ke objek yang digeser yaitu.
$\begin{align*} x^2+y^2 &= 4 \\ (x'+3)^2+(y'-2)^2 &= 4 \\ x'^2+6x'+9 + y'^2 -4y'+4 &=4 \\ x'^2+y'^2+6x'-4y'+13 &=4 \\ x'^2+y'^2+6x'-4y' &=-9 \end{align*}$
Jadi bayangan garis g adalah $x^2+y^2+6x-4y=9$
Latihan Soal
Soal 1
Temukanlah bayangan titik $(2,-5)$ jika titik digeser sejauh $(2,5)$ adalah ... .
Soal 2
Jika diketahui $B'(-3,3)$ adalah bayangan titik $B$ yang di geser sejauh $(3,-5)$ maka titik $B$ yang dimaksud adalah ... .
Soal 3
Jika titik $C(2,5)$ digeser sejauh $(a,b)$ menghasilkan bayangan di $C'(-4,5)$, maka nilai dari $a + b$ adalah ... .
Soal 4
Jika diketahui $A(x-2,y-4)$ digeser sejauh $(3,4)$ menghasilkan bayangan $A'(7,9)$ maka nilai dari $x-y$ adalah ... .
Soal 5
Jika diketahui suatu garis $3x+6y-9=0$ akan digeser sejauh $(2,-3)$, maka bayangan garis tersebut adalah ... .
Tidak ada komentar:
Posting Komentar