Mengenal Komposisi Fungsi, Beserta contoh Soal dan Sifat-sifat Komposisi Fungsi

Pada pembelajaran kali ini akan dibahas mengenai komposisi dua fungsi atau lebih, sebelum membahas lebih jauh mengenai komposisi dari fungsi silahkan pahami lebih dulu bagaimana simbol dan arti dari komposisi fungsi melalui penjelasan berikut ini.

Misalkan diketahui $f$ dan $g$ adalah suatu fungsi, maka komposisi dua fungsi didefinisikan sebagai berikut.
$f\circ g (x)$
secara sederhana memiliki makna "gantilah setiap $x$ di $f$ dengan $g$"

selain definisi tersebut perlu dipahami juga beberapa sifat-sifat fungsi berikut.
1. $f\circ g (x) = f(g(x))$
2. $f\circ (g \circ h)(x) = (f\circ g) \circ h(x)$
3. $(f\circ g)^{-1} (x) = f^{-1} \circ g^{-1}$
4. $(f^{-1})^{-1}(x)=f(x)$
5. Jika $f(a)=b$ maka $f^{-1}(b)=a$
6. Jika $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ maka $f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a}$

Syarat komposisi fungsi
$f\circ g (x)$ terdefinisi apabila irisan range fungsi $f$ dengan domain fungsi $g$ bukan hinpuan kosong atau $ f(x)\cap g(x)\neq \phi$

Jika susah dalam memahami penjelasannya, berikut disediakan video pembahasan singkatnya.

Jika ditelaah lebih jauh $f\circ g (x)$ yang memiliki arti "gantilah setiap $x$ di $f$ dengan $g$" bisa juga ditulis ke dalam bentuk $f(g(x))$. Sehingga kebelakang nanti apabila menyelesaikan fungsi komposisi biasakan menuliskan kmposisi fungsi ke dalam bentuk tersebut karena akan sangat memudahkan dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan komposisi fungsi. Agar lebih memahami mengenai komposisi fungsi, mari kita latih dengan beberapa soal berikut ini.

Contoh Soal

Soal No 1

Jika diketahui fungsi $f=(7,2), (2,3), (3,4), (5,6)$ dan $g=(2,0),(3,0),(4,-1),(6,-2)$ apakah komposisi $f\circ g (x)$ terdefinisi ... .

Untuk menemukan apakah komposisi fungsi terdefinisi atau tidak maka temukan dulu domain fungsi g dan range fungsi f, dimana
Domain $g=(2,3,4,6)$
range $f=(2,3,4,6)$
karena $f(x)\cap g(x)$ bukan himpunan kosong, maka $f\circ g (x)$ terdefinsi

Soal No 2

Jika diketahui fungsi $f=(1,2), (2,3), (3,4), (5,6)$ dan $g=(2,0),(3,0),(4,-1),(6,-2)$ apakah komposisi $g\circ f (x)$ terdefinisi ... .

Untuk menemukan apakah komposisi fungsi terdefinisi atau tidak maka temukan dulu domain fungsi g dan range fungsi f, dimana
Domain $f=(1,2,3,5)$
range $g=(0,-1,-2)$
karena $f(x)\cap g(x)$ adalah himpunan kosong, maka $f\circ g (x)$ tidak terdefinsi

Soal No 3

Jika diketahui fungsi $f(x)=2x+3$ dan $g(x)=-3x-4$ maka nilai dari $f\circ g (x)$ adalah ... .

ingat
= $f\circ g (x)$
= $f(g (x))$
= $f(-3x-4)$

maka sesuai definisi komposisi fungsi gantilah nilai x di f dengan g, sehingga diperoleh.
= $2(-3x-4)+3$
= $-6x-8+3$
= $-6x-5$
maka nilai dari $f\circ g (x)=-6x-5$

Soal No 4

Jika diketahui fungsi $g(x)=2x^2-3x-3$ dan $f(x)=x+2$ maka nilai dari $g\circ f (x)$ adalah ... .

ingat
= $g\circ f (x)$
= $g(f (x))$
= $g(x+2)$

maka sesuai definisi komposisi fungsi gantilah nilai x di g dengan f, sehingga diperoleh.
= $2(x+2)^2+3(x+2)-3$
= $2(x^2+4x+4)+3x+6-3$
= $4x^2+8x+8+3x+6-3$
= $4x^2+11x+11$
maka nilai dari $g\circ f (x)=4x^2+11x+11$

Soal No 5

Jika diketahui fungsi $g(x)=x^2-x$ dan $f(x)=x-1$ maka nilai dari $g\circ f (0)$ adalah ... .

cari dulu nilai $$g\circ f (x)$ dan ingat
= $g\circ f (x)$
= $g(f (x))$
= $g(x+2)$

maka sesuai definisi komposisi fungsi gantilah nilai x di g dengan f, sehingga diperoleh.
= $(x-1)^2+(x-1)$
= $(x^2-2x+1)+x-1$
= $x^2-x$
maka nilai dari $g\circ f (x)=x^2-x$, maka unutk menemukan nilai dari $g\circ f (0)$ tinggal ganti nilai $x$ pada $g\circ f (x)$ dengan 0. maka
= $x^2-x$
= $0^2-0$
= $0$
maka nilai dari $g\circ f (0)=0$