Pada pembelajaran kali ini akan dibahas mengenai komposisi dua fungsi atau lebih, sebelum membahas lebih jauh mengenai komposisi dari fungsi silahkan pahami lebih dulu bagaimana simbol dan arti dari komposisi fungsi melalui penjelasan berikut ini.
Misalkan diketahui $f$ dan $g$ adalah suatu fungsi, maka komposisi dua fungsi didefinisikan sebagai berikut.
$f\circ g (x)$
secara sederhana memiliki makna "gantilah setiap $x$ di $f$ dengan $g$"
selain definisi tersebut perlu dipahami juga beberapa sifat-sifat fungsi berikut.
1. $f\circ g (x) = f(g(x))$
2. $f\circ (g \circ h)(x) = (f\circ g) \circ h(x)$
3. $(f\circ g)^{-1} (x) = g^{-1} \circ f^{-1}$
4. $(f^{-1})^{-1}(x)=f(x)$
5. Jika $f(a)=b$ maka $f^{-1}(b)=a$
6. Jika $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ maka $f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a}$
Syarat komposisi fungsi
$f\circ g (x)$ terdefinisi apabila irisan range fungsi $f$ dengan domain fungsi $g$ bukan hinpuan kosong atau $ f(x)\cap g(x)\neq \phi$
$f\circ g (x)$
secara sederhana memiliki makna "gantilah setiap $x$ di $f$ dengan $g$"
selain definisi tersebut perlu dipahami juga beberapa sifat-sifat fungsi berikut.
1. $f\circ g (x) = f(g(x))$
2. $f\circ (g \circ h)(x) = (f\circ g) \circ h(x)$
3. $(f\circ g)^{-1} (x) = g^{-1} \circ f^{-1}$
4. $(f^{-1})^{-1}(x)=f(x)$
5. Jika $f(a)=b$ maka $f^{-1}(b)=a$
6. Jika $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ maka $f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a}$
Syarat komposisi fungsi
$f\circ g (x)$ terdefinisi apabila irisan range fungsi $f$ dengan domain fungsi $g$ bukan hinpuan kosong atau $ f(x)\cap g(x)\neq \phi$
Jika susah dalam memahami penjelasannya, berikut disediakan video pembahasan singkatnya.
Jika ditelaah lebih jauh $f\circ g (x)$ yang memiliki arti "gantilah setiap $x$ di $f$ dengan $g$" bisa juga ditulis ke dalam bentuk $f(g(x))$. Sehingga kebelakang nanti apabila menyelesaikan fungsi komposisi biasakan menuliskan kmposisi fungsi ke dalam bentuk tersebut karena akan sangat memudahkan dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan komposisi fungsi. Agar lebih memahami mengenai komposisi fungsi, mari kita latih dengan beberapa soal berikut ini.
Contoh Soal
Soal No 1
Jika diketahui fungsi $f=(7,2), (2,3), (3,4), (5,6)$ dan $g=(2,0),(3,0),(4,-1),(6,-2)$ apakah komposisi $f\circ g (x)$ terdefinisi ... .
Soal No 2
Untuk lebih memahami penjelasan materi diatas Cobalah beberapa soal berikut.
Untuk menemukan apakah komposisi fungsi terdefinisi atau tidak maka temukan dulu domain fungsi g dan range fungsi f, dimana
Domain $g=(2,3,4,6)$
range $f=(2,3,4,6)$
karena $f(x)\cap g(x)$ bukan himpunan kosong, maka $f\circ g (x)$ terdefinsi
Domain $g=(2,3,4,6)$
range $f=(2,3,4,6)$
karena $f(x)\cap g(x)$ bukan himpunan kosong, maka $f\circ g (x)$ terdefinsi
Soal No 2
Jika diketahui fungsi $f=(1,2), (2,3), (3,4), (5,6)$ dan $g=(2,0),(3,0),(4,-1),(6,-2)$ apakah komposisi $g\circ f (x)$ terdefinisi ... .
Soal No 3
Untuk menemukan apakah komposisi fungsi terdefinisi atau tidak maka temukan dulu domain fungsi g dan range fungsi f, dimana
Domain $f=(1,2,3,5)$
range $g=(0,-1,-2)$
karena $f(x)\cap g(x)$ adalah himpunan kosong, maka $f\circ g (x)$ tidak terdefinsi
Domain $f=(1,2,3,5)$
range $g=(0,-1,-2)$
karena $f(x)\cap g(x)$ adalah himpunan kosong, maka $f\circ g (x)$ tidak terdefinsi
Soal No 3
Jika diketahui fungsi $f(x)=2x+3$ dan $g(x)=-3x-4$ maka nilai dari $f\circ g (x)$ adalah ... .
Soal No 4
ingat
= $f\circ g (x)$
= $f(g (x))$
= $f(-3x-4)$
maka sesuai definisi komposisi fungsi gantilah nilai x di f dengan g, sehingga diperoleh.
= $2(-3x-4)+3$
= $-6x-8+3$
= $-6x-5$
maka nilai dari $f\circ g (x)=-6x-5$
= $f\circ g (x)$
= $f(g (x))$
= $f(-3x-4)$
maka sesuai definisi komposisi fungsi gantilah nilai x di f dengan g, sehingga diperoleh.
= $2(-3x-4)+3$
= $-6x-8+3$
= $-6x-5$
maka nilai dari $f\circ g (x)=-6x-5$
Soal No 4
Jika diketahui fungsi $g(x)=2x^2-3x-3$ dan $f(x)=x+2$ maka nilai dari $g\circ f (x)$ adalah ... .
Soal No 5
ingat
= $g\circ f (x)$
= $g(f (x))$
= $g(x+2)$
maka sesuai definisi komposisi fungsi gantilah nilai x di g dengan f, sehingga diperoleh.
= $2(x+2)^2+3(x+2)-3$
= $2(x^2+4x+4)+3x+6-3$
= $4x^2+8x+8+3x+6-3$
= $4x^2+11x+11$
maka nilai dari $g\circ f (x)=4x^2+11x+11$
= $g\circ f (x)$
= $g(f (x))$
= $g(x+2)$
maka sesuai definisi komposisi fungsi gantilah nilai x di g dengan f, sehingga diperoleh.
= $2(x+2)^2+3(x+2)-3$
= $2(x^2+4x+4)+3x+6-3$
= $4x^2+8x+8+3x+6-3$
= $4x^2+11x+11$
maka nilai dari $g\circ f (x)=4x^2+11x+11$
Soal No 5
Jika diketahui fungsi $g(x)=x^2-x$ dan $f(x)=x-1$ maka nilai dari $g\circ f (0)$ adalah ... .
Soal No 6
cari dulu nilai $g\circ f (x)$ dan ingat
= $g\circ f (x)$
= $g(f (x))$
= $g(x+2)$
maka sesuai definisi komposisi fungsi gantilah nilai x di g dengan f, sehingga diperoleh.
= $(x-1)^2+(x-1)$
= $(x^2-2x+1)+x-1$
= $x^2-x$
maka nilai dari $g\circ f (x)=x^2-x$, maka unutk menemukan nilai dari $g\circ f (0)$ tinggal ganti nilai $x$ pada $g\circ f (x)$ dengan 0. maka
= $x^2-x$
= $0^2-0$
= $0$
maka nilai dari $g\circ f (0)=0$
= $g\circ f (x)$
= $g(f (x))$
= $g(x+2)$
maka sesuai definisi komposisi fungsi gantilah nilai x di g dengan f, sehingga diperoleh.
= $(x-1)^2+(x-1)$
= $(x^2-2x+1)+x-1$
= $x^2-x$
maka nilai dari $g\circ f (x)=x^2-x$, maka unutk menemukan nilai dari $g\circ f (0)$ tinggal ganti nilai $x$ pada $g\circ f (x)$ dengan 0. maka
= $x^2-x$
= $0^2-0$
= $0$
maka nilai dari $g\circ f (0)=0$
Soal No 6
Suatu perusahaan emas akan membuat kalung dengan bahas dasar emas $(x)$ yang akan melalui dua tahap yaitu tahap pertama menghasilkan bahan setengah jadi $(y)$ yang dapat diwakilkan dengan sebuah fungsi kayu $y=f(x)=3x^2-x-15$. Kemudian tahap kedua menghasilkan kalung siap jual yang diwakilkan oleh sebuah fungsi $g(y)=5y-1.390$ . dengan $x$ dalam satuan gram dan $y$ dalam satuan buah. Jika perusahaan memiliki bahas dasar emas sebanyak 10 gram, maka berapakah kalung yang dapat di produksi
Masalah ini dapat diselesaikan dengan masalah komposisi fungsi karena dalam pembuatan kalung mengalami beberapa proses. dimana untuk penyelesaian tahap 1 diproses dengan fungsi $f(x)$ dan tahap 2 diproses dengan fungsi $g(y)$ maka banyak kalung diperoleh dengan cara menemukan nilai dari $gof(10)$ karena emas yang tersedia sebanyak 10 gram. maka dari cari dulu $gof(x)$ dengan cara.
= $g\circ f (x)$
= $g(f (x))$
= $g(3x^2-x-15)$
= $5(3x^2-x-15)-1.390$
= $15x^2-5x-75-1.390$
= $15x^2-5x-1.435$
maka nilai dari $g\circ f (10)$ adalah .
= $15.10^2-5.10-1.435$
= $1.500-50-1.435$
= $15$
maka banyak kalung yang dapat dibuat adalah 15 buah.
= $g\circ f (x)$
= $g(f (x))$
= $g(3x^2-x-15)$
= $5(3x^2-x-15)-1.390$
= $15x^2-5x-75-1.390$
= $15x^2-5x-1.435$
maka nilai dari $g\circ f (10)$ adalah .
= $15.10^2-5.10-1.435$
= $1.500-50-1.435$
= $15$
maka banyak kalung yang dapat dibuat adalah 15 buah.
Untuk lebih memahami penjelasan materi diatas Cobalah beberapa soal berikut.
Latihan Soal
| 1 | Jika diketahui fungsi $f(x)=2x+3$ dan $g(x)=x^2-3x+3$, maka nilai dari
a. $g\circ f (x)=...$ b. $f\circ g (x)=...$ |
| 2 | Jika diketahui fungsi $f(x)=x-2$ dan $g(x)=x^3-x+5$, maka nilai dari
a. $g\circ f (0)=...$ b. $f\circ g (1)=...$ |
| 3 | Jika diketahui fungsi $g\circ f (x)=x^2-2x-5$ dan $f(x)=x+1$, maka nilai dari
a. $g (0)=...$ b. $f\circ g (1)=...$ |
| 4 | Suatu perusahaan kertas akan membuat kertas berbahan dasar kayu $(x)$ yang akan melalui dua tahap yaitu tahap pertama menghasilkan bahan setengah jadi kayu $(y)$ yang dapat diwakilkan dengan sebuah fungsi kayu $y=f(x)=3x^2-5x-200$. Kemudian tahap kedua menghasilkan kertas siap pakai yang diwakilkan oleh sebuah fungsi $g(y)=3y-130$ . dengan $x$ dan $y$ dalam satuan ton. Jika perusahaan memiliki bahas dasar kayu sebanyak 10 ton, maka berapakah kertas yang dapat di produksi … |
| 5 | Suatu perusahaan baju akan membuat baju dengan bahasa dasar kain $(x)$ yang akan melalui dua tahap yaitu tahap pertama tahap pemotongan kain $(y)$ yang dapat diwakilkan dengan sebuah fungsi kayu $y=f(x)=4x+90$. Kemudian tahap kedua menghasilkan baju siap jual yang dapat diwakilkan dengan sebuah fungsi $g(y)=\frac{y+10}{2y-970}$. Dengan $x$ dalam satuan meter dan $y$ dalam satuan buah. Jika harga kain adalah Rp 8.000 tiap meter dan harga baju adalah Rp 60.000, maka berapakah keuntungan perusahaan tersebut $($dengan asumsi tiap baju memiliki keuntungan Rp 25.000 tiap buah $)$ jika perusahaan memiliki 100 meter kain. |
Jika konten ini bermanfaat silahkan share ke teman yang membutuhkan lewat tombol dibawah ini.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar