--- Soal No 1 ---
Turunan pertama dari fungsi $y=\frac{sinx}{sinx+cosx}$ adalah ... .
A. $-\frac{1}{1+2sinx.cosx}$
B. $\frac{1}{1+2sinx.cosx}$
C. $\frac{-sinx}{1+sinx.cosx}$
D. $\frac{sinx}{1+sinx.cosx}$
E. $\frac{sin^{2}x}{1+sinx.cosx}$
A. $-\frac{1}{1+2sinx.cosx}$
B. $\frac{1}{1+2sinx.cosx}$
C. $\frac{-sinx}{1+sinx.cosx}$
D. $\frac{sinx}{1+sinx.cosx}$
E. $\frac{sin^{2}x}{1+sinx.cosx}$
Kunci : B. $\frac{1}{1+2sinx.cosx}$
Petunjuk :
Ingat kembali jika $f(x)=u.v$ maka turunan fungsi f diperoleh dengan cara $f'(x)=\frac{u'v-v'u}{v^2}$
Petunjuk :
Ingat kembali jika $f(x)=u.v$ maka turunan fungsi f diperoleh dengan cara $f'(x)=\frac{u'v-v'u}{v^2}$
--- Soal No 2 ---
Grafik fungsi $y=x^4-4x$ turun untuk $x$ yang memenuhi ... .
A. $x < 0 $
B. $0 < x < 1$
C. $x > 1$
D. $x < 1$
E. $x < 0$ atau $x > 1$
A. $x < 0 $
B. $0 < x < 1$
C. $x > 1$
D. $x < 1$
E. $x < 0$ atau $x > 1$
Kunci : D. $x < 1$
Petunjuk :
1. ingatlah bahwa, fungsi akan turun saat turunan pertamanya lebih dari nol.
2. turunkan fungsinya dan temukan selang dimana nilai fungsi negatif pada garis bilangan
3. hati-hati dengan bentuk definit positif atau negatif
Petunjuk :
1. ingatlah bahwa, fungsi akan turun saat turunan pertamanya lebih dari nol.
2. turunkan fungsinya dan temukan selang dimana nilai fungsi negatif pada garis bilangan
3. hati-hati dengan bentuk definit positif atau negatif
--- Soal No 3 ---
Jika grafik fungsi $y=x+\frac{1}{x}$ mencapai maksimum di titik $(x_0,y_0)$ maka nilai dri $x_0+y_0$ dalah ... .
A. $-3$
B. $-2$
C. $0$
D. $2$
E. $3$
A. $-3$
B. $-2$
C. $0$
D. $2$
E. $3$
Kunci : E. $3$
Petunjuk :
Ingatlah suatu fungsi akan mencapai maksimum/minimum saat turunan pertamanya sama dengan nol. Sehingga dengan menurunkan fungsi akan ditemukan nilai x dan y.
Petunjuk :
Ingatlah suatu fungsi akan mencapai maksimum/minimum saat turunan pertamanya sama dengan nol. Sehingga dengan menurunkan fungsi akan ditemukan nilai x dan y.
--- Soal No 4 ---
Grafik $y=2x^3-3x^2-12x+7$ turun untuk nilai x yang memenuhi ... .
A. $x > 2 $
B. $-1 < x < 2$
C. $-3 < x < -1$
D. $x<-1$ atau $x > 2$
E. $x<-3$ atau $x > 1$
A. $x > 2 $
B. $-1 < x < 2$
C. $-3 < x < -1$
D. $x<-1$ atau $x > 2$
E. $x<-3$ atau $x > 1$
Kunci : B. $-1 < x < 2$
Petunjuk :
1. tumukan pembuat nol dari bentuk $f'(x)=0$
2. uji daerah yang dibentuk oleh titik pembuat nol ke $f'(x)$
3. pilih tanda negatif karena fungsi akan turun saat $f'(x) < 0$
Petunjuk :
1. tumukan pembuat nol dari bentuk $f'(x)=0$
2. uji daerah yang dibentuk oleh titik pembuat nol ke $f'(x)$
3. pilih tanda negatif karena fungsi akan turun saat $f'(x) < 0$
--- Soal No 5 ---
Dari kawat yang panjangnya 500 meter akan dibuat kerangka balok yang salah satu panjang rusuknya 25 meter. Jika volume balok maksimum, maka panjang dua rusuk lainnya adalah ... .
A. 10 meter dan 90 meter
B. 15 meter dan 85 meter
C. 25 meter dan 75 meter
D. 40 meter dan 60 meter
E. 50 meter dan 50 meter
A. 10 meter dan 90 meter
B. 15 meter dan 85 meter
C. 25 meter dan 75 meter
D. 40 meter dan 60 meter
E. 50 meter dan 50 meter
Kunci : E. 50 meter dan 50 meter
Petunjuk :
1. misalkan panjang dan lebarnya x dan y, kemudian dari keliling akan diperoleh persamaan dalam x dan y.
2. yang dimaksimukman adalah luas maka misalkan $f(x)$ adalah fungsi yang mewakili luas, karena panjang dan lebar dalam bentuk x dan y, maka buat fungsi menjadi 1 variabel dengan mensubstitusi persamaan di point 1.
3. sesuai konsep, fungsi akan maksimum saat $f'(x) = 0$ maka temukan nilai x dan y
Petunjuk :
1. misalkan panjang dan lebarnya x dan y, kemudian dari keliling akan diperoleh persamaan dalam x dan y.
2. yang dimaksimukman adalah luas maka misalkan $f(x)$ adalah fungsi yang mewakili luas, karena panjang dan lebar dalam bentuk x dan y, maka buat fungsi menjadi 1 variabel dengan mensubstitusi persamaan di point 1.
3. sesuai konsep, fungsi akan maksimum saat $f'(x) = 0$ maka temukan nilai x dan y
--- Soal No 6 ---
Suatu proyek dapat dikerjakan selama p hari, dengan biaya setiap harinya $\left ( 4p +\frac{1500}{p}-40 \right )$ juta rupiah. Jika biaya minimum proyek tersebut adalah R juta rupiah, maka nilai R adalah ... .
A. $750$
B. $940$
C. $1170$
D. $1400$
E. $1750$
A. $750$
B. $940$
C. $1170$
D. $1400$
E. $1750$
Kunci : D. $1400$
Petunjuk :
1. yang dimaksimumkan adalah biaya, maka misalkan fungsi $f(x)$ menyatakan biaya proyek yang diperoleh dari banyak hari dikali biaya.
2. sesuai konsep, fungi akan maksimum saat $f'(x) 0 0$ maka temukan nilai x dan biaya minimum juga ditemukan
Petunjuk :
1. yang dimaksimumkan adalah biaya, maka misalkan fungsi $f(x)$ menyatakan biaya proyek yang diperoleh dari banyak hari dikali biaya.
2. sesuai konsep, fungi akan maksimum saat $f'(x) 0 0$ maka temukan nilai x dan biaya minimum juga ditemukan
--- Soal No 7 ---
Jika $f(x)=\frac{(6-x^2)}{x+2}+5$ maka nilai turunan fungsi $f$ adalah ... .
A. $\frac{-2}{(x+2)^2}-1$
B. $\frac{2}{(x+2)^2}-1$
C. $\frac{x^2-4x-6}{(x+2)^2}$
D. $\frac{x^2-4x-6}{(x+2)^2}$
E. $-3x^2-4x+6$
A. $\frac{-2}{(x+2)^2}-1$
B. $\frac{2}{(x+2)^2}-1$
C. $\frac{x^2-4x-6}{(x+2)^2}$
D. $\frac{x^2-4x-6}{(x+2)^2}$
E. $-3x^2-4x+6$
Kunci : A. $\frac{-2}{(x+2)^2}-1$
Petunjuk :
1. Ingatlah jika diketahui $f(x)=h(x)+g(x)$ maka $f'(x)=h'(x)+g'(x)$
2. Ingat juga bentuk $f(x)=\frac{u}{v}$ maka $f'(x)=\frac{u'v-v'u}{v^2}$
Petunjuk :
1. Ingatlah jika diketahui $f(x)=h(x)+g(x)$ maka $f'(x)=h'(x)+g'(x)$
2. Ingat juga bentuk $f(x)=\frac{u}{v}$ maka $f'(x)=\frac{u'v-v'u}{v^2}$
--- Soal No 8 ---
Jika $f(x)=\frac{2x+1}{x^2-3}$ maka nilai dari $f'(-3)$ adalah ... .
A. $-2\frac{1}{2}$
B. $-\frac{5}{6}$
C. $-\frac{3}{3}$
D. $-\frac{1}{2}$
E. $-\frac{1}{3}$
A. $-2\frac{1}{2}$
B. $-\frac{5}{6}$
C. $-\frac{3}{3}$
D. $-\frac{1}{2}$
E. $-\frac{1}{3}$
Kunci : D. $-\frac{1}{2}$
Petunjuk :
Ingat juga bentuk $f(x)=\frac{u}{v}$ maka $f'(x)=\frac{u'v-v'u}{v^2}$
Petunjuk :
Ingat juga bentuk $f(x)=\frac{u}{v}$ maka $f'(x)=\frac{u'v-v'u}{v^2}$
--- Soal No 9 ---
Volume balok terbesar yang luas semua bidang sisinya adalah 96 $cm^2$ dan alasnya persegi adalah ... .
A. $54 cm^3$
B. $64 cm^3$
C. $74 cm^3$
D. $84 cm^3$
E. $94 cm^3$
A. $54 cm^3$
B. $64 cm^3$
C. $74 cm^3$
D. $84 cm^3$
E. $94 cm^3$
Kunci : B. $64 cm^3$
Petunjuk :
1. misalkan panjang = lebarnya adalah x dan tinggi y, kemudian dari luas akan diperoleh persamaan dalam x dan y.
2. yang dimaksimukman adalah Volume maka misalkan $f(x)$ adalah fungsi yang mewakili Volume, karena panjang dan tinggi dalam bentuk x dan y, maka buat fungsi menjadi 1 variabel dengan mensubstitusi persamaan di point 1.
3. sesuai konsep, fungsi akan maksimum saat $f'(x) = 0$ maka temukan nilai x dan y
Petunjuk :
1. misalkan panjang = lebarnya adalah x dan tinggi y, kemudian dari luas akan diperoleh persamaan dalam x dan y.
2. yang dimaksimukman adalah Volume maka misalkan $f(x)$ adalah fungsi yang mewakili Volume, karena panjang dan tinggi dalam bentuk x dan y, maka buat fungsi menjadi 1 variabel dengan mensubstitusi persamaan di point 1.
3. sesuai konsep, fungsi akan maksimum saat $f'(x) = 0$ maka temukan nilai x dan y
--- Soal No 10 ---
Nilai minimum dari fungsi $y=(x-3)\sqrt{x}$ adalah ... .
A. $-2$
B. $-2$
C. $0$
D. $1$
E. $2$
A. $-2$
B. $-2$
C. $0$
D. $1$
E. $2$
Kunci : B. $-2$
Petunjuk :
Ingatlah syarat bahwa $f(x)$ akan maksimum atau minimum saat $f'(x)=0$, maka temukanlah nilai x nya.
Petunjuk :
Ingatlah syarat bahwa $f(x)$ akan maksimum atau minimum saat $f'(x)=0$, maka temukanlah nilai x nya.
--- Soal No 11 ---
Turunan pertama dari fungsi $y=\frac{cosx-sinx}{cosx+sinx}$ adalah ... .
A. $-\frac{1}{(cosx+sinx)^2}$
B. $-\frac{2}{(cosx+sinx)^2}$
C. $-\frac{3}{(cosx+sinx)^2}$
D. $-\frac{1}{cos^2x+sinx^2}$
E. $-\frac{2}{cos^2x+sinx^2}$
A. $-\frac{1}{(cosx+sinx)^2}$
B. $-\frac{2}{(cosx+sinx)^2}$
C. $-\frac{3}{(cosx+sinx)^2}$
D. $-\frac{1}{cos^2x+sinx^2}$
E. $-\frac{2}{cos^2x+sinx^2}$
Kunci : B. $-\frac{2}{(cosx+sinx)^2}$
Petunjuk :
1. Ingatlah jika diketahui $f(x)=h(x)+g(x)$ maka $f'(x)=h'(x)+g'(x)$
2. Ingat juga bentuk $f(x)=\frac{u}{v}$ maka $f'(x)=\frac{u'v-v'u}{v^2}$
Petunjuk :
1. Ingatlah jika diketahui $f(x)=h(x)+g(x)$ maka $f'(x)=h'(x)+g'(x)$
2. Ingat juga bentuk $f(x)=\frac{u}{v}$ maka $f'(x)=\frac{u'v-v'u}{v^2}$
--- Soal No 12 ---
Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $f(x).g(x)=x^2-3$ untuk setiap bilangan real $x$ jika $g(1)=2$ dan $f'(1)=f(1)=-1$ maka $g'(1)$= ... .
A. $2$
B. $1$
C. $0$
D. $-1$
E. $-2$
A. $2$
B. $1$
C. $0$
D. $-1$
E. $-2$
Kunci : D. $-1$
Petunjuk :
1. turunkan kedua ruas sehingga ditemukan nilai $g'(x)$
2. ingat juga bentuk, jika $f(x)=u.v$ maka $f'(x)=u'v+v'u$
Petunjuk :
1. turunkan kedua ruas sehingga ditemukan nilai $g'(x)$
2. ingat juga bentuk, jika $f(x)=u.v$ maka $f'(x)=u'v+v'u$
--- Soal No 13 ---
Jika $(a,b)$ adalah titik minimm grafik fungsi $f(x)=7-\sqrt{25-x^2}$, maka nilai dari $a^2 +b^2$ adalah ... .
A. $4$
B. $5$
C. $8$
D. $10$
E. $13$
A. $4$
B. $5$
C. $8$
D. $10$
E. $13$
Kunci :
Petunjuk :
1. Ingatlah syarat bahwa $f(x)$ akan maksimum atau minimum saat $f'(x)=0$, maka temukanlah nilai x nya.
2. ingatlah jika bentuk akar diubah ke bilangan pangkat, maka pangkatnya adalah setengah
Petunjuk :
1. Ingatlah syarat bahwa $f(x)$ akan maksimum atau minimum saat $f'(x)=0$, maka temukanlah nilai x nya.
2. ingatlah jika bentuk akar diubah ke bilangan pangkat, maka pangkatnya adalah setengah
--- Soal No 14 ---
Fungsi yang grafiknya terletak diantara garis $y=-1$ dan garis $y=1$ adalah ... .
A. $f(x)=1-\frac{1}{x}$
B. $f(x)=x-\frac{1}{x}$
C. $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$
D. $f(x)=\frac{1}{x^2}$
E. $f(x)=\frac{1}{x}$
A. $f(x)=1-\frac{1}{x}$
B. $f(x)=x-\frac{1}{x}$
C. $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$
D. $f(x)=\frac{1}{x^2}$
E. $f(x)=\frac{1}{x}$
Kunci : C. $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$
Petunjuk :
perhatikan pada setiap jawaban A sampai E, akan ada suatu kasus yang mengakibatkan grafiknya di antara -1 dan 1 memiliki asimptot atau nilainya tidak ada.
Petunjuk :
perhatikan pada setiap jawaban A sampai E, akan ada suatu kasus yang mengakibatkan grafiknya di antara -1 dan 1 memiliki asimptot atau nilainya tidak ada.
--- Soal No 15 ---
Diketahui fungsi $f$ dan fungsi $g$ dengan $f(x)=x^2+4x+1$ dan $g'(x)=\sqrt{10-x^2}$ dengan $g'$ adalah turunan fungsi $g$, maka nilai turunan pertama dari $fog$ di $x=0$ adalah ... .
A. $3$
B. $6$
C. $9$
D. $12$
E. $15$
A. $3$
B. $6$
C. $9$
D. $12$
E. $15$
Kunci : D. $12$
Petunjuk :
1. pahami dulu bahwa $f og=f(g(x))$
2. ingat turunan bentuk fog dapat diturunankan dengan aturan rantai, contohnya jika $f(x)=(x^2)^3$ maka $f'(x)=3(x^2)^2.2x$
Petunjuk :
1. pahami dulu bahwa $f og=f(g(x))$
2. ingat turunan bentuk fog dapat diturunankan dengan aturan rantai, contohnya jika $f(x)=(x^2)^3$ maka $f'(x)=3(x^2)^2.2x$
--- Soal No 16 ---
Jika $f(3x+2)=x\sqrt{x+1}$ maka nilai dari $12f'(11)$ adalah ... .
A. $9$
B. $11$
C. $12$
D. $14$
E. $15$
A. $9$
B. $11$
C. $12$
D. $14$
E. $15$
Kunci : B. $11$
Petunjuk :
1. Jika ingin cara langsung, maka turunkan kedua ruas, dimana turunan dikiri terapkan aturan rantai. sehingga bentuk dikanan akan ada $f'(3x+2)$ karena ditanya $f'(11)$ maka temukan nilai x yang membuatnya memenuhi.
2. Jika menggunakan cara biasa, temukan nilai $f(x)$ dari data yang diketahi, kemudian turunkan dan ganti x dengan 11.
Petunjuk :
1. Jika ingin cara langsung, maka turunkan kedua ruas, dimana turunan dikiri terapkan aturan rantai. sehingga bentuk dikanan akan ada $f'(3x+2)$ karena ditanya $f'(11)$ maka temukan nilai x yang membuatnya memenuhi.
2. Jika menggunakan cara biasa, temukan nilai $f(x)$ dari data yang diketahi, kemudian turunkan dan ganti x dengan 11.
--- Soal No 17 ---
Titik $(a,b)$ adalah titik maksimum grafik fungsi $f(x)=\frac{1}{(x+1)^2+4}$ maka nilai ab adalah ... .
A. $\frac{1}{4}$
B. $-\frac{1}{4}$
C. $-1$
D. $1$
E. $3$
A. $\frac{1}{4}$
B. $-\frac{1}{4}$
C. $-1$
D. $1$
E. $3$
Kunci : B. $-\frac{1}{4}$
Petunjuk :
Ingatlah syarat bahwa $f(x)$ akan maksimum atau minimum saat $f'(x)=0$, maka temukanlah nilai x nya.
Petunjuk :
Ingatlah syarat bahwa $f(x)$ akan maksimum atau minimum saat $f'(x)=0$, maka temukanlah nilai x nya.
--- Soal No 18 ---
Suatu kerucut memiliki panjang jari-jari r dan tinggi t, jika r + t = 12, maka nialai maksimum volume kerucut adalah ... .
A. $72\pi$
B. $\frac{215\pi}{3}$
C. $\frac{225\pi}{3}$
D. $\frac{256\pi}{3}$
E. $100\pi$
A. $72\pi$
B. $\frac{215\pi}{3}$
C. $\frac{225\pi}{3}$
D. $\frac{256\pi}{3}$
E. $100\pi$
Kunci : D. $\frac{256\pi}{3}$
Petunjuk :
1. yang dimaksimukman adalah Volume maka misalkan $f(t)$ adalah fungsi yang mewakili Volume, karena jari-jari dan tinggi dalam bentuk r dan t, maka substitusikan nilai r atau t ke $f(t)$ agar menjadi satu variabel dalam r atau t
3. sesuai konsep, fungsi akan maksimum saat $f'(x) < 0$ maka temukan nilai r dan t
Petunjuk :
1. yang dimaksimukman adalah Volume maka misalkan $f(t)$ adalah fungsi yang mewakili Volume, karena jari-jari dan tinggi dalam bentuk r dan t, maka substitusikan nilai r atau t ke $f(t)$ agar menjadi satu variabel dalam r atau t
3. sesuai konsep, fungsi akan maksimum saat $f'(x) < 0$ maka temukan nilai r dan t
--- Soal No 19 ---
Diketahui fungsi $f$ dan fungsi $g$ dengan nilai $f(2)=f(4)=g'(2)=g'(4)=2$ dan $g(2)=g(4)=f'(2)=f'(4)=4$. Jika $h(x)=f(g(x))$ maka nilai dari $h'(2)$ adalah ... .
A. $40$
B. $32$
C. $24$
D. $16$
E. $8$
A. $40$
B. $32$
C. $24$
D. $16$
E. $8$
Kunci : E. $8$
Petunjuk :
ingat bentuk turunan dengan aturan rantai, contohnya jika $f(x)=(x^2)^3$ maka $f'(x)=3(x^2)^2.2x$. Maka turunkan fungsi dalam soal agar menemukan bentuk yang ditanyakan
Petunjuk :
ingat bentuk turunan dengan aturan rantai, contohnya jika $f(x)=(x^2)^3$ maka $f'(x)=3(x^2)^2.2x$. Maka turunkan fungsi dalam soal agar menemukan bentuk yang ditanyakan
--- Soal No 20 ---
Jika $5x +12y=60$ maka nilai minimum dari $\sqrt{x^2+y^2}$ adalah ... .
A. $\frac{60}{13}$
B. $\frac{13}{5}$
C. $\frac{13}{12}$
D. $\frac{5}{13}$
E. $\frac{10}{13}\sqrt{3}$
A. $\frac{60}{13}$
B. $\frac{13}{5}$
C. $\frac{13}{12}$
D. $\frac{5}{13}$
E. $\frac{10}{13}\sqrt{3}$
Kunci : A. $\frac{60}{13}$
Petunjuk :
1. ubah bentuk $5x +12y=60$ menjadi $y= ....$ kemudian substitusikan ke $\sqrt{x^2+y^2}$ dan turunkan, sehingga akan maksimum saat $f'(x)=0$
2. ingat bentuk turunan dengan aturan rantai, contohnya jika $f(x)=(x^2)^3$ maka $f'(x)=3(x^2)^2.2x$ dan ingat juga jika akar diubah ke bilangan berpangkat maka pangkatnya sama dengan setengah.
Petunjuk :
1. ubah bentuk $5x +12y=60$ menjadi $y= ....$ kemudian substitusikan ke $\sqrt{x^2+y^2}$ dan turunkan, sehingga akan maksimum saat $f'(x)=0$
2. ingat bentuk turunan dengan aturan rantai, contohnya jika $f(x)=(x^2)^3$ maka $f'(x)=3(x^2)^2.2x$ dan ingat juga jika akar diubah ke bilangan berpangkat maka pangkatnya sama dengan setengah.
--- Soal No 21 ---
Diketahui fungsi $f$ dan fungsi $g$ dengan $g(x)=f(x^2+2)$. Jika diketahui $g'(1)=8$, maka nilai $f'(3)$ adalah ... .
A. $8$
B. $6$
C. $4$
D. $2$
E. $1$
A. $8$
B. $6$
C. $4$
D. $2$
E. $1$
Kunci : C. $4$
Petunjuk :
1. turunkan kedua ruas bentuk $g(x)=f(x^2+2)$
2. ingat bentuk turunan dengan aturan rantai, contohnya jika $f(x)=(x^2)^3$ maka $f'(x)=3(x^2)^2.2x$
3. ketika diambil $x=1$ maka soal dapat terselesaikan.
Petunjuk :
1. turunkan kedua ruas bentuk $g(x)=f(x^2+2)$
2. ingat bentuk turunan dengan aturan rantai, contohnya jika $f(x)=(x^2)^3$ maka $f'(x)=3(x^2)^2.2x$
3. ketika diambil $x=1$ maka soal dapat terselesaikan.
--- Soal No 22 ---
Luas daerah persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang dibatasi oleh kurva $y=\frac{1}{3}x^2$ dan $y=5$ adalah ... .
A. $\frac{16}{3}\sqrt{5}$
B. $\frac{17}{3}\sqrt{5}$
C. $6\sqrt{5}$
D. $\frac{19}{3}\sqrt{5}$
E. $\frac{20}{3}\sqrt{5}$
A. $\frac{16}{3}\sqrt{5}$
B. $\frac{17}{3}\sqrt{5}$
C. $6\sqrt{5}$
D. $\frac{19}{3}\sqrt{5}$
E. $\frac{20}{3}\sqrt{5}$
Kunci : E. $\frac{20}{3}\sqrt{5}$
Petunjuk :
1. gambarlah semua grafik dan misalkan ada persegi panjang dalam garik dengan memisalkan panjang sejajar sumbu x dan lebar sejajar sumbu y.
2. misalkan dari sumbu y ke grafik $y=\frac{1}{3}x^2$ adalah x, maka panjang persegi panjang adalah 2x. Kemudian garis yang di tarik dari $y=5$ ke $y=\frac{1}{3}x^2$ dan berpotongantepat pada panjangnya memiliki panjang $5-y$
3. misalkan $f(x)$ adalah fungsi yang menyatakan luas persegi panjang. buat $f(x)$ satu variabel dengan mensubstitusi nilai $y=\frac{1}{3}x^2$
4. sesuai konsep, fungsi akan maksimum saat $f'(x) =0$, maka temukan nilai x dan y
Petunjuk :
1. gambarlah semua grafik dan misalkan ada persegi panjang dalam garik dengan memisalkan panjang sejajar sumbu x dan lebar sejajar sumbu y.
2. misalkan dari sumbu y ke grafik $y=\frac{1}{3}x^2$ adalah x, maka panjang persegi panjang adalah 2x. Kemudian garis yang di tarik dari $y=5$ ke $y=\frac{1}{3}x^2$ dan berpotongantepat pada panjangnya memiliki panjang $5-y$
3. misalkan $f(x)$ adalah fungsi yang menyatakan luas persegi panjang. buat $f(x)$ satu variabel dengan mensubstitusi nilai $y=\frac{1}{3}x^2$
4. sesuai konsep, fungsi akan maksimum saat $f'(x) =0$, maka temukan nilai x dan y
--- Soal No 23 ---
Jika nilai maksimum $f(x)=x+\sqrt{2p-3x}$ adalah $\frac{5}{4}$, maka nilai p adalah ... .
A. $1$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{3}{4}$
D. $\frac{3}{2}$
E. $2$
A. $1$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{3}{4}$
D. $\frac{3}{2}$
E. $2$
Kunci : C. $\frac{3}{4}$
Petunjuk :
1. ingat fungsi akan maksimum saat $f'(x)=0$.
2. Ganti nilai $f'(x)=y$ dan x sesuai dengan titik maksimimnya.
3. akan ditemukan sebuah persamaan dalam variabel p, maka selesaikanlah.
Petunjuk :
1. ingat fungsi akan maksimum saat $f'(x)=0$.
2. Ganti nilai $f'(x)=y$ dan x sesuai dengan titik maksimimnya.
3. akan ditemukan sebuah persamaan dalam variabel p, maka selesaikanlah.
--- Soal No 24 ---
Kolam renang berbentuk gabungan persegi panjang dan setengah lingkaran sepertu pada gambar berikut. Keliling kolam renang sama dengan a satuan panjang. Agar luas kolam renang maksimum, maka nilai x = .... satuan panjang.
B. $\frac{a}{\pi}$
C. $\frac{a}{4+\pi}$
D. $\frac{a}{4+2\pi}$
E. $\frac{2a}{4+\pi}$
Kunci : E. $\frac{2a}{4+\pi}$
Petunjuk :
1. Keliling kolam adalah jumlah 2.p + l + kll setenagh lingkaran $($ buat keliling dalam bentuk y = .... $)$
2. misalkan luas kolam adalah fungsi $f(x)$ dengan mengganti nilai y sesuai dengan point 1.
3. ingat fungsi akan maksimum saat $f'(x)=0$. maka temukan nilai x
Petunjuk :
1. Keliling kolam adalah jumlah 2.p + l + kll setenagh lingkaran $($ buat keliling dalam bentuk y = .... $)$
2. misalkan luas kolam adalah fungsi $f(x)$ dengan mengganti nilai y sesuai dengan point 1.
3. ingat fungsi akan maksimum saat $f'(x)=0$. maka temukan nilai x
--- Soal No 25 ---
Grafik $y=f'(x)$ ditunjukan pada gambar berikut.
pernyataan yang benar adalah ... .
A. Fungsi f mempunyai titik minimum di $(0,-1)$
B. fungsi f naik pada interval $(0, \infty)$
C. Titik minimum lokal f terjadi di $x=-2$
D. Fungsi f bernilai positif pada selang $(\infty,-2)$
E. Titik minimum lokal terjadi di $x=2$
B. fungsi f naik pada interval $(0, \infty)$
C. Titik minimum lokal f terjadi di $x=-2$
D. Fungsi f bernilai positif pada selang $(\infty,-2)$
E. Titik minimum lokal terjadi di $x=2$
Kunci : E. Titik minimum lokal terjadi di $x=2$
Petunjuk :
1. dari gambar kita dapat menemukan $f'(x)$ dan uji tanda di daerah sumbu x nya.
2. Jawaban A salah karena titik minimum atau maksimum terjadi saat $x = 2$ atau $x =-2$
3. Jawaban B salah, karena pada $(0, \infty)$ uji turunan pertama ada bernilai negatif.
4. Jawaban C salah, karena nilai minimum terjadi saat perubahan tanda dari negatif ke positif pada uji turunan pertama
4. Jawaban D salah, karena ada pada selang terebut nilai yang negatif
5. Jawaban E benar, karena perbuahan tanda dari negatif ke positif yang menandakan itu adalah minimum lokal.
Petunjuk :
1. dari gambar kita dapat menemukan $f'(x)$ dan uji tanda di daerah sumbu x nya.
2. Jawaban A salah karena titik minimum atau maksimum terjadi saat $x = 2$ atau $x =-2$
3. Jawaban B salah, karena pada $(0, \infty)$ uji turunan pertama ada bernilai negatif.
4. Jawaban C salah, karena nilai minimum terjadi saat perubahan tanda dari negatif ke positif pada uji turunan pertama
4. Jawaban D salah, karena ada pada selang terebut nilai yang negatif
5. Jawaban E benar, karena perbuahan tanda dari negatif ke positif yang menandakan itu adalah minimum lokal.
--- Soal No 26 ---
Bola dengan diameter 8 cm selurhnya tedapat dalam kerucut tegak terbalik. Tinggi kerucut dengan kerucut dengan volume bola terkecil yang mungkin adalah ... .
B. $12\sqrt{2}$
C. $16$
D. $16\sqrt{2}$
E. $18$
Kunci : C. $16$
Petunjuk :
1. ilustrasikan kerucut sebagai segitiga dan bola sebuah lingkaran yang semua sisi segitiga saling bersinggungan.
2. temukan persamaan dalam r atau t, dengan memperhatikan bahwa perbandingan tinggi kerucut dengan jari-jari bola adalah 1:3. terapkan konsep pytagoras atau kesebangunan.
3. misalkan $f(x)$ menyatakan fungsi volume kerucut.
4. ingat fungsi akan maksimum saat $f'(x)=0$. maka temukan nilai x
Petunjuk :
1. ilustrasikan kerucut sebagai segitiga dan bola sebuah lingkaran yang semua sisi segitiga saling bersinggungan.
2. temukan persamaan dalam r atau t, dengan memperhatikan bahwa perbandingan tinggi kerucut dengan jari-jari bola adalah 1:3. terapkan konsep pytagoras atau kesebangunan.
3. misalkan $f(x)$ menyatakan fungsi volume kerucut.
4. ingat fungsi akan maksimum saat $f'(x)=0$. maka temukan nilai x
--- Soal No 27 ---
Diketahui $L(x)$ adalah luas segitiga AOB seperti pada gambar berikut. Jika a adalah besar sudut BAO serta $cos a = x$ dan $0\leq a \leq \pi$ maka $L(x)$ maksimum untuk nilai a adalah ... .
B. $30^o$
C. $45^o$
D. $60^o$
E. $75^o$
Kunci : C. $45^o$
Petunjuk :
1. misalkan P titik pada perpotongan AB dan Tinggi segitga, maka misalkan juga OP = y dan AP = x
2. sehingga ambil fungsi $f(x)$ sebagai fungsi yang menyatakan luas segitiga. karena titik A sangat berpengaruh oleh fungsi lingkaran, maka temukan nilai y = ... dan substitusi ke $f(x)$ sehingga menemukan fungsi dalam 1 variabel x.
3. ingat fungsi akan maksimum saat $f'(x)=0$. maka temukan nilai x dan y. maka nilai a dapat ditemukan dengan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku.
Petunjuk :
1. misalkan P titik pada perpotongan AB dan Tinggi segitga, maka misalkan juga OP = y dan AP = x
2. sehingga ambil fungsi $f(x)$ sebagai fungsi yang menyatakan luas segitiga. karena titik A sangat berpengaruh oleh fungsi lingkaran, maka temukan nilai y = ... dan substitusi ke $f(x)$ sehingga menemukan fungsi dalam 1 variabel x.
3. ingat fungsi akan maksimum saat $f'(x)=0$. maka temukan nilai x dan y. maka nilai a dapat ditemukan dengan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku.
--- Soal No 28 ---
Grafik fungsi $f(x)=ax^{3}-bx^{2}+cx+25$ naik jika ... .
A. $b^{2}-4ac < 0$ dan $a>0$
B. $b^{2}-4ac < 0$ dan $a<0$
C. $b^{2}-3ac > 0$ dan $a<0$
D. $b^{2}-3ac < 0$ dan $a>0$
E. $b^{2}-3ac < 0$ dan $a<0$
A. $b^{2}-4ac < 0$ dan $a>0$
B. $b^{2}-4ac < 0$ dan $a<0$
C. $b^{2}-3ac > 0$ dan $a<0$
D. $b^{2}-3ac < 0$ dan $a>0$
E. $b^{2}-3ac < 0$ dan $a<0$
Kunci : D. $b^{2}-3ac < 0$ dan $a>0$
Petunjuk :
1. ingat fungsi akan naik saat $f'(x) > 0$
2. maka nilai $f'(x)$ ditemukan dalam bentuk persamaan kuadrat dan akan selalu bernilai positif saat $D < 0$ dan $a > 0$
Petunjuk :
1. ingat fungsi akan naik saat $f'(x) > 0$
2. maka nilai $f'(x)$ ditemukan dalam bentuk persamaan kuadrat dan akan selalu bernilai positif saat $D < 0$ dan $a > 0$
--- Soal No 29 ---
Grafik fungsi $f(x)=ax^{3}-bx^{2}+cx+12$ turun, Jika ... .
A. $b^{2}-4ac < 0$ dan $a>0$
B. $b^{2}-4ac < 0$ dan $a<0$
C. $b^{2}-3ac > 0$ dan $a<0$
D. $b^{2}-3ac < 0$ dan $a>0$
E. $b^{2}-3ac < 0$ dan $a<0$
A. $b^{2}-4ac < 0$ dan $a>0$
B. $b^{2}-4ac < 0$ dan $a<0$
C. $b^{2}-3ac > 0$ dan $a<0$
D. $b^{2}-3ac < 0$ dan $a>0$
E. $b^{2}-3ac < 0$ dan $a<0$
Kunci : D. $b^{2}-3ac < 0$ dan $a>0$
Petunjuk :
1. ingat fungsi akan turun saat $f'(x) < 0$
2. maka nilai $f'(x)$ ditemukan dalam bentuk persamaan kuadrat dan akan selalu bernilai negatif saat $D < 0$ dan $a < 0$
Petunjuk :
1. ingat fungsi akan turun saat $f'(x) < 0$
2. maka nilai $f'(x)$ ditemukan dalam bentuk persamaan kuadrat dan akan selalu bernilai negatif saat $D < 0$ dan $a < 0$
--- Soal No 30 ---
Grafik fungsi $f(x)=4x^{3}+2x^{2}-8x+4$ turun pada ... .
A. $x < 0 $ atau $x >1$
B. $-\frac{2}{3} < x < 1$
C. $x < -1$ atau $x > \frac{2}{3}$
D. $-1 < x < \frac{2}{3}$
E. $-\frac{3}{2} < x < 2$
A. $x < 0 $ atau $x >1$
B. $-\frac{2}{3} < x < 1$
C. $x < -1$ atau $x > \frac{2}{3}$
D. $-1 < x < \frac{2}{3}$
E. $-\frac{3}{2} < x < 2$
Kunci : D. $-1 < x < \frac{2}{3}$
Petunjuk :
1. Temukan nilai $f'(x)$ dan temukan juga akar-akarya
2. Uji daerah yang dibentuk pembuat nok fungsi $f'(x)$
3. karena turun pilih daerah yang negatif.
Petunjuk :
1. Temukan nilai $f'(x)$ dan temukan juga akar-akarya
2. Uji daerah yang dibentuk pembuat nok fungsi $f'(x)$
3. karena turun pilih daerah yang negatif.
--- Soal No 31 ---
Diketahui $F(x)=(a+1)x^{3}-3bx^{2}+9x$. Jika $F"(x)$ habis dibagi $x-1$ dan kurva $y=F(x)$ tidak mempunyai titik ekstrem lokal, maka ... .
A. $-3 < b < 1$
B. $0 < b < 3$
C. $-4 < b < -1 $
D. $-4< b < 0 $
E. $1 < b < 4$
A. $-3 < b < 1$
B. $0 < b < 3$
C. $-4 < b < -1 $
D. $-4< b < 0 $
E. $1 < b < 4$
Kunci : B. $0 < b < 3$
Petunjuk :
1. temukan nilai $f"(x)$ dan substitusi $x=1$ karena fungsi habis dibagi $x-1$. maka akan ditemukan hubungan nilai a dan b.
2. substitusi hubungan a dan b ke $F(x)$ agar hanya memuat konstanta dalam b. kemudian temukan nilai $F'(x)$ untuk menguji nilai ekstrim lokal.
3. karena $F'(x)$ dalam fungsi kuadrat, maka agar tidak nilai eksrtim lokal tidak ada haruslah tidak ada perubahan tanda sehingga mengharuskan nilai diskriminanya kurang dari nol.
4. melalui sifat 3 akan ditemukan 2 nilai b, uji pada garis bilangan dan pilih nilai yang negatif.
Petunjuk :
1. temukan nilai $f"(x)$ dan substitusi $x=1$ karena fungsi habis dibagi $x-1$. maka akan ditemukan hubungan nilai a dan b.
2. substitusi hubungan a dan b ke $F(x)$ agar hanya memuat konstanta dalam b. kemudian temukan nilai $F'(x)$ untuk menguji nilai ekstrim lokal.
3. karena $F'(x)$ dalam fungsi kuadrat, maka agar tidak nilai eksrtim lokal tidak ada haruslah tidak ada perubahan tanda sehingga mengharuskan nilai diskriminanya kurang dari nol.
4. melalui sifat 3 akan ditemukan 2 nilai b, uji pada garis bilangan dan pilih nilai yang negatif.
--- Soal No 32 ---
Diketahui $F(x)=bx^{3}-3(1+a)x^{2}-3x$. Jika $F"(x)$ habis dibagi $x-1$ dan kurva $y=F(x)$ mempunyai titik ekstrem lokal, maka ... .
A. $0 \leq a \leq 1$
B. $a \leq 0$ atau $a\geq1$
C. $-1 < a < 0 $
D. $a< -1 $ atau $a > 0$
E. $a \leq -2$ atau $a \geq -1$
A. $0 \leq a \leq 1$
B. $a \leq 0$ atau $a\geq1$
C. $-1 < a < 0 $
D. $a< -1 $ atau $a > 0$
E. $a \leq -2$ atau $a \geq -1$
Kunci : E. $a \leq -2$ atau $a \geq -1$
Petunjuk :
1. temukan nilai $f"(x)$ dan substitusi $x=1$ karena fungsi habis dibagi $x-1$. maka akan ditemukan hubungan nilai a dan b.
2. substitusi hubungan a dan b ke $F(x)$ agar hanya memuat konstanta dalam a. kemudian temukan nilai $F'(x)$ untuk menguji nilai ekstrim lokal.
3. karena $F'(x)$ dalam fungsi kuadrat, maka agar mempunyai nilai eksrtim lokal haruslah ada perubahan tanda sehingga mengharuskan nilai diskriminanya lebih dari atau sama dengan nol.
4. melalui sifat 3 akan ditemukan 2 nilai a, uji pada garis bilangan dan pilih nilai yang negatif.
Petunjuk :
1. temukan nilai $f"(x)$ dan substitusi $x=1$ karena fungsi habis dibagi $x-1$. maka akan ditemukan hubungan nilai a dan b.
2. substitusi hubungan a dan b ke $F(x)$ agar hanya memuat konstanta dalam a. kemudian temukan nilai $F'(x)$ untuk menguji nilai ekstrim lokal.
3. karena $F'(x)$ dalam fungsi kuadrat, maka agar mempunyai nilai eksrtim lokal haruslah ada perubahan tanda sehingga mengharuskan nilai diskriminanya lebih dari atau sama dengan nol.
4. melalui sifat 3 akan ditemukan 2 nilai a, uji pada garis bilangan dan pilih nilai yang negatif.
--- Soal No 33 ---
Jika m dan n bilangan real dan fungsi $f(x)=mx^3+2x^{2}-nx+5$ memenuhi $f'(1)=f'(5)=0$, maka 3m - n = ... .
A. $-6$
B. $-4$
C. $-2$
D. $2$
E. $4$
A. $-6$
B. $-4$
C. $-2$
D. $2$
E. $4$
Kunci : B. $-4$
Petunjuk :
1. temukan nilai $f'(x)$ dan substitusisesuai sifat pada soal.
2. melalui point 1 akan ditemukan 2 persamaan yang memuat nilai m dan n.
3. eliminasi dan temukan nilai m dan n.
Petunjuk :
1. temukan nilai $f'(x)$ dan substitusisesuai sifat pada soal.
2. melalui point 1 akan ditemukan 2 persamaan yang memuat nilai m dan n.
3. eliminasi dan temukan nilai m dan n.
--- Soal No 34 ---
Diketahui $f(0)=1$ dan $f'(0)=2$. Jika $g(x)=\frac{1}{(2f(x)-1)^2}$ maka $g'(0)$ = ... .
A. $-12$
B. $-6$
C. $6$
D. $8$
E. $12$
A. $-12$
B. $-6$
C. $6$
D. $8$
E. $12$
Kunci : $-12$
Petunjuk :
1. turunkan fungsi, kemudian ganti nilai $x=0$
2. hati-hati dalam menurunkan fungsi, ingat terapkan konsep turunan dengan aturan rantai
Petunjuk :
1. turunkan fungsi, kemudian ganti nilai $x=0$
2. hati-hati dalam menurunkan fungsi, ingat terapkan konsep turunan dengan aturan rantai
--- Soal No 35 ---
Fungsi $f(x)=\sqrt{cos^2x+\frac{x}{2}+\pi}$ dengan $x> 0$ turun pada interval ... .
A. $\frac{\pi}{6}< x < \frac{\pi}{3}$
B. $\frac{\pi}{12}< x < \frac{7\pi}{12}$
C. $\frac{\pi}{12}< x < \frac{5\pi}{12}$
D. $0 < x < \frac{5\pi}{12}$
E. $0 < x < \frac{\pi}{12}$
A. $\frac{\pi}{6}< x < \frac{\pi}{3}$
B. $\frac{\pi}{12}< x < \frac{7\pi}{12}$
C. $\frac{\pi}{12}< x < \frac{5\pi}{12}$
D. $0 < x < \frac{5\pi}{12}$
E. $0 < x < \frac{\pi}{12}$
Kunci : C. $\frac{\pi}{12}< x < \frac{5\pi}{12}$
Petunjuk :
1. turunkan fungsi, kemudian temukan pembuat nol fungsi dengan mengingat identitas $sin2x=2sinx.cosx$
2. Uji daerah pembuat nol fungsi dan pilih tanda negatif karena yang diminta adalah saat fungsi turun.
3. hati-hati dalam menurunkan fungsi, ingat terapkan konsep turunan dengan aturan rantai
Petunjuk :
1. turunkan fungsi, kemudian temukan pembuat nol fungsi dengan mengingat identitas $sin2x=2sinx.cosx$
2. Uji daerah pembuat nol fungsi dan pilih tanda negatif karena yang diminta adalah saat fungsi turun.
3. hati-hati dalam menurunkan fungsi, ingat terapkan konsep turunan dengan aturan rantai
--- Soal No 36 ---
Misalkan $f(x)=a\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{x}}$ mempunyai titik belok di $(4, 13)$ maka nilai a + b adalah ... .
A. $\frac{91}{8}$
B. $\frac{81}{8}$
C. $\frac{71}{8}$
D. $\frac{61}{8}$
E. $\frac{51}{8}$
A. $\frac{91}{8}$
B. $\frac{81}{8}$
C. $\frac{71}{8}$
D. $\frac{61}{8}$
E. $\frac{51}{8}$
Kunci :
Petunjuk :
1. mempunyai titik belok $(4, 13)$ maka substitusikan ke $f(x)$ akan ditemukan sebuah persamaan dalam a dan b.
2. syarat titik belok adalah $f"(x)=0$ melalui sifat ini ditemukan persamaan kedua dalam a dan b.
3. eliminasi dan temukan nilai a dan b
Petunjuk :
1. mempunyai titik belok $(4, 13)$ maka substitusikan ke $f(x)$ akan ditemukan sebuah persamaan dalam a dan b.
2. syarat titik belok adalah $f"(x)=0$ melalui sifat ini ditemukan persamaan kedua dalam a dan b.
3. eliminasi dan temukan nilai a dan b
--- Soal No 37 ---
Nilai konstanta positif a yang mungkin sehingga $\frac{451}{50}$ merupakan nilai minimum fungsi $f(x)=(a^2+1)x^2-2ax+10$ untuk $x\varepsilon \left [ 0,\frac{1}{2} \right ] $ adalah
A. $7$
B. $5$
C. $4$
D. $3$
E. $2$
A. $7$
B. $5$
C. $4$
D. $3$
E. $2$
Kunci : A. $7$
Petunjuk :
1. temukan nilai x dengan konsep nilai minim terjadi saat $f'(x)=0$
2. substitusi nilai x ke $f(x)$ dan nilai $f(x)=\frac{451}{50}$
3. selesaikan persamaan kedua untuk menemukan nilai a
Petunjuk :
1. temukan nilai x dengan konsep nilai minim terjadi saat $f'(x)=0$
2. substitusi nilai x ke $f(x)$ dan nilai $f(x)=\frac{451}{50}$
3. selesaikan persamaan kedua untuk menemukan nilai a
Tidak ada komentar:
Posting Komentar