Kumpulan soal Persiapan Masuk PTN | Materi Limit

--- Soal No 1 ---

JIka $\displaystyle \lim_{x\to \infty} x.sin \left ( \frac{a}{bx} \right ) =b$, dengan a dan b adalah konstanta maka … .
A. $a=\frac{b}{2}$
B. $a=b$
C. $a^2=b$
D. $a=b^2$
E. $a=2b$

Kunci : D. $a=b^2$
Petunjuk :
1. Misalkan $x=\frac{1}{y}$ sehingga ketika $x$ mendekati tak hingga maka nilai y akan mendekati nol, maka ganti nilai nilai $x$ mendekati tak hingga pada soal menjadi $y$ mendekati nol.
2. Setelah diganti maka paksa nilainya ke bentuk dasar limit trigonometri.

--- Soal No 2 ---

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to \infty }(\sqrt{4x+2}-\sqrt{4x})(\sqrt{x+1})$= … .
A. $2$
B. $1$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{4}$
E. $\frac{1}{8}$

Kunci : C. $\frac{1}{2}$
Petunjuk :
1. kalikan bentuk aljabar yang dilimitkan, kemudian kalikan dengan kawanya unutk menemukan hasilnya.
2. Jika tidak menggunakan kali sekawan, maka ingatlah bentuk $\displaystyle \lim_{x\to \infty }(\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+c})$ dengan nilai $a=p$ maka hasilnya adalah $\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$

--- Soal No 3 ---

Jika $f(x)=sin^{2}3x$, maka $\displaystyle \lim_{p\to 0 }\frac{f(x+2p)-f(x)}{2p}$= … .
A. $2cos3x$
B. $2sin3x$
C. $6sin^2x$
D. $6sin3x.cos3x$
E. $6cos^2x$

Kunci : D. $6sin3x.cos3x$
Petunjuk :
1. nilai limitnya dapat dilakukan dengan mensubstitusikan nilainya sesuai dengan soal, kemudian sederhanakan dengan identitas trigono.
2. selain cara pada point 1, ingatlah konsep turunan, dimana jika diketahui suatu fungsi $f(x)$ maka nilai turunanya dapay ditemukan dengan konsep limit yaitu $\displaystyle \lim_{h\to 0 }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.

--- Soal No 4 ---

NIlai dari $\displaystyle \lim_{x\to 1 }\frac{tan(1-x)}{x^3-1}$= … .
A. $\frac{1}{3}$
B. $-\frac{1}{3}$
C. $1$
D. $-1$
E. $\frac{1}{2}$

Kunci : B. $-\frac{1}{3}$
Petunjuk :
1.ingatlah bentuk dasar limit $\displaystyle \lim_{x\to 1 }\frac{tana(x-1)}{b(x-1)}=\frac{a}{b}$, maka faktorkan penyebut untuk menemukan bentuk yang sama.
2. jika kesulitan menemukan faktor, bisa gunakan dalil l'hopital.

--- Soal No 5 ---

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to 7 }\frac{\sqrt{x}(x-7)}{\sqrt{x}-\sqrt{7}}$ … .
A. $14$
B. $7$
C. $2\sqrt{7}$
D. $\sqrt{7}$
E. $\frac{1}{2}\sqrt{7}$

Kunci : A. $14$
Petunjuk :
1. ingatlah bentuk aljabar $(a^2-b^2)=(a+b)(a-b)$ sehingga jabarkan bentuk $(x-7)$ agar menemukan bentuk lain yang dapat saling menyederhanakan.
2. bisa juga gunakan dalil L'Hopital.

--- Soal No 6 ---

NIlai dari $\displaystyle \lim_{x\to1 }\frac{x^2+x-2}{sin(2-\sqrt{x+3})}$= … .
A. -12
B. -6
C. 0
D. 6
E. 12

Kunci : A. -12
Petunjuk :
1. jika diperhatikan bentuk dalam soal, sangat sulit menemukan bentuk yang sama agar soal bisa dipaksa ke bentuk dasar limit trigono. Sehingga gunakanlah dalil L'hopital unutk menyelesaikannya.

--- Soal No 7 ---

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to 0 }\frac{x^2\sqrt{4-x^2}}{cosx-cos3x}$= … .
A. $-\frac{3}{2}$
B. $-\frac{1}{2}$
C. $0$
D. $\frac{1}{2}$
E. $-\frac{3}{2}$

Kunci : D. $\frac{1}{2}$
Petunjuk :
1. ingatlah bentuk perubahan $cos3x=4cos^3x-cosx$ dan $sin^2x+cos^2x=1$
2. dengan kedua bentuk perubahan trigono diatas silahkan ubah bentuk soal ke bentuk dasar trigono.

--- Soal No 8 ---

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to1 }\frac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}$= … .
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $1$
D. $2$
E. $4$

Kunci : E. $4$
Petunjuk :
1. kalikan dengan kawan penyebutnya.

--- Soal No 9 ---

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1)}$ … .
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
E. 8

Kunci : D. 4
Petunjuk :
1. kalikan dengan kawan penyebutnya.

--- Soal No 10 ---

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to \pi} \frac{\sqrt{5+cosx}-2}{(\pi-x)^2}$= … .
A. $\frac{1}{10}$
B. $\frac{1}{8}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{2}$
E. $1$

Kunci : B. $\frac{1}{8}$
Petunjuk :
1. guanakan dalil L'hopital untuk menemukan jawabanya.
2. unutk mengubah ke bentuk dasar limit trigono maka ingat sifat $sin(\pi-x)=sinx$ atau $cos(\pi-x)=cosx$.

--- Soal No 11 ---

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to \frac{1}{2} \pi } \frac{4(x-\pi)cos^2x}{\pi(\pi-2x)tan(x -\frac{\pi}{2})}$= … .
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2

Kunci : D. 1
Petunjuk :
1. ubahlah bentuk tan menjadi cot agar nilai cos dengan sifat $tan(x-90^0)=cotx$ dan ingatpula bahwa $cos(x-\frac{\pi}{2})=sinx$
2. dengan sifat-sifat pada point 1 ubahlah bentuk soal agar memenuhi bentuk dasar limit trigono.
3. unutk lebih mudah juga dapat menggunakan dalil L'hopital.

--- Soal No 12 ---

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to \frac{1}{\pi}}\frac{1-2sinx.cosx}{sinx-cosx}$= … .
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
C. $1$
D. $0$
E. $-1$

Kunci : D. $0$
Petunjuk :
1. Ingat sifat $sin^2x + cos^2x=1$, $sin2x=2sinxcosx$ dan ingat juga bentuk aljabar $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
2. Untuk mempermudah bisa uga diterapkan dalil L'hopital.

--- Soal No 13 ---

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to 1 } \frac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1}$=… .
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
E. 10

Kunci : D. 9
Petunjuk :
1. Gunakan dalil L'hipital.

--- Soal No 14 ---

Diketahui fungsi g kontinu di $x=3$ dan $\displaystyle \lim_{x\to 3}g(x)=2$, maka nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to 3}\left (g(x)\frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \right )$ adalah … .
A. $4\sqrt{3}$
B. $3\sqrt{3}$
C. $4$
D. $2$
E. $\sqrt{3}$

Kunci : A. $4\sqrt{3}$
Petunjuk :
1. Ingatlah sifat limit $\displaystyle \lim_{x\to a}(f(x).g(x))= \displaystyle \lim_{x\to a}f(x).\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)$
2. Ingat juga bentuk aljabar $(a^2-b^2)=(a+b)(a-b)$ sehingga jabarkan bentuk $(x-3)$ agar menemukan bentuk lain yang dapat saling menyederhanakan.

--- Soal No 15 ---

Diketahui fungsi f dengan $f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac {x^2-1}{x-1}, x\neq 1 \\ 3, x=1 \end{matrix}\right.$ semua pernyataan berikut benar, KECUALI … .
A. $\displaystyle \lim_{x\to1 }f(x)=2$
B. $\displaystyle \lim_{x\to1 }f(x)\neq f(1)$
C. $f$ mempunyai turunan di $x=1$
D. $f$ tidak kontinu di $x = 1$
E. $f$ kontinu di $x=0$

Kunci : C
Petunjuk :
1. Jawaban A benar, karena nilanya dapat ditemukan dengan konsep faktor
2. Jawaban B benar, karena jika di uji dengan menemukan nilai $f(1)$ akan berneda dengan nilai limit.
3. jawaban C salah, karena $\displaystyle \lim_{x\to1 }f(x)\neq f(1)$
4. Jawaban D benar, karena f tidak kontinu di $x=1$
5. Jawaban E benar, karena linai limit sama dengan nilai fungsi saat $x=0$

--- Soal No 16 ---

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{4x}}{\sqrt{sin2x}}$= … .
A. $\sqrt{2}$
B. $1$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{4}$
E. $0$

Kunci : A. $\sqrt{2}$
Petunjuk :
1. Terapkan sifat limit bahwa $\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{g(x)}}=\frac{\displaystyle \lim_{x\to a} \sqrt{f(x)}}{\displaystyle \lim_{x\to a}\sqrt{g(x)}}$
2. kemudian terapkan konsep dasar limit

--- Soal No 17 ---

Jika $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{x}=1$ maka nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x}-1}$= … .
A. -4
B. -2
C. -1
D. 2
E. 4

Kunci : B. -2
Petunjuk :
1. kalikan kawab penyebut bentuk yang diketahui kemudian substitusi.
2. temukan nilai $g'(0)$ dari bentuk yang diketahui.

--- Soal No 18 ---

Jika $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{x}=\frac{1}{2}$ maka nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x}-1}$ =… .
A. -4
B. -2
C. -1
D. 2
E. 4

Kunci : C. -1
Petunjuk :
1. kalikan kawab penyebut bentuk yang diketahui kemudian substitusi.
2. temukan nilai $g'(0)$ dari bentuk yang diketahui.

--- Soal No 19 ---

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to 0 }\frac{1-cos^{2} 2x}{x^{2}tan\left ( x+\frac{\pi}{4} \right )}$ = … .
A. $-2$
B. $0$
C. $\sqrt{2}$
D. $\sqrt{3}$
E. $4$

Kunci : E. $4$
Petunjuk :
1. pisahkan nilai limit sesuai konsep limit, kemudian ingat konsep $sin^2x+cos^2x=1$
2. ubah ke bentuk dasar limit trigono dan selesaikan.

--- Soal No 20 ---

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to 0 }\frac{1-cos^{2} x}{x^{2}cot\left ( x+\frac{\pi}{3} \right )}$ = … .
A. $-1$
B. $0$
C. $1$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
E. $\sqrt{3}$

Kunci : E. $\sqrt{3}$
Petunjuk :
1. pisahkan nilai limit sesuai konsep limit, kemudian ingat konsep $sin^2x+cos^2x=1$
2. ubah ke bentuk dasar limit trigono dan selesaikan.

--- Soal No 21 ---

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to 0}\sqrt{\frac{3tanx.sinx}{1-cosx}}$= … .
A. $0$
B. $1$
C. $\sqrt(3)$
D. $\sqrt{6}$
E. $6$

Kunci : D. $\sqrt{6}$
Petunjuk :
1. ingatlah indentitas trigono berbentuk $1-cosx = 2sin^{2}\frac{1}{2}x$
2. gunakan sifiat limit yang bisa masuk ke dalam akar, dan selesaikan dengan konsep dasar limit trigono.

--- Soal No 22 ---

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to 0}\sqrt{\frac{x.tanx}{sin^{2}x-cos^{2}x+1}}$ = … .
A. $3$
B. $\sqrt{3}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{1}{3}$
E. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Kunci : C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Petunjuk :
1. ingatlah identitas trigono $sin^2x+cos^2x=1$.
2. gunakan sifiat limit yang bisa masuk ke dalam akar, dan selesaikan dengan konsep dasar limit trigono.

--- Soal No 23 ---

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left ( \frac{cosx-cos3x}{x^2\sqrt{4-x}} \right )$= … .
A. $-2$
B. $-\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $1$
E. $2$

Kunci : E. $2$
Petunjuk :
1. ubahlah $cos3x=4cos^3x-cosx$ atau $cos3x=-2sin2x.sin(-x)$
2. pisahkan nilai limit seseuai sifst perkalian dan selesaikan dengan konsep dasar limit trigono.

--- Soal No 24 ---

Jika $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$, maka pernyataan yang benar adalah … .
A. $B=A^2$
B. $4B^2=A$
C. $4B=A^2$
D. $4B=A$
E. $A+B=0$

Kunci : C. $4B=A^2$
Petunjuk :
1. gunakan dalil'hopital unutk menyelesaikan nilai limit, maka akan diperoleh hubungan antara A dan B

--- Soal No 25 ---

Jika $\displaystyle \lim_{x\to a}\left ( f(x)+\frac{1}{g(x)} \right )=4$ dan $\displaystyle \lim_{x\to a}\left ( f(x)-\frac{1}{g(x)} \right )=-3$ maka nilai dari $\displaystyle \lim_{ x\to a}\left ( f(x)^{2}+\left ( \frac{1}{g(x)} \right )^{2} \right )$ … .
A. $\frac{24}{3}$
B. $\frac{23}{5}$
C. $\frac{25}{3}$
D. $\frac{25}{2}$
E. $\frac{27}{2}$

Kunci : D. $\frac{25}{2}$
Petunjuk :
1. Terapkan sifat perkalian limit pada bentuk yang diketahui
2. dengan memisalkan $f(x)$ dan $g(x)$ adalah sebuah variabel maka melalui bentuk yang diketahui akan ditemukan 2 persamaan, silahkan dieliminasi unutk menemukan nilai $f(x)$ dan $g(x)$
3. hubungkan dengan yang diminta pada soal.

--- Soal No 26 ---

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x}+1)}{1-x}$ = … .
A. $-\frac{1}{2}$
B. $-\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{8}$
D. $\frac{1}{4}$
E. $\frac{1}{2}$

Kunci : E. $\frac{1}{2}$
Petunjuk :
1. gunakan konsep kali sekawan, namun hati-hati memilih kawan pembilang karena akan menimbulkan bentuk tak tentu.

--- Soal No 27 ---

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to 0 }x(1-\sqrt{x+1})csc^2x$= … .
A. $1$
B. $\frac{1}{2}$
C. $0$
D. $-\frac{1}{2}$
E. $-1$

Kunci : D. $-\frac{1}{2}$
Petunjuk :
1. Bisa menggunakan kali sekawan untuk memaksa soal ke bentuk dasar limit trigono. Atau bisa juga menggnakan dalil L' hopital

--- Soal No 28 ---

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left (\frac{x^2sinx-\frac{1}{2}sinx\sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}}} \right )$= … .
A. $\infty$
B. $-\frac{7}{2}$
C. $-\frac{5}{2}$
D. $-\frac{3}{2}$
E. $-\frac{1}{2}$

Kunci : E. $-\frac{1}{2}$
Petunjuk :
1. pisahkan bentuk pembilang menjadi pengurangan 2 buah bentuk trigono.
2. samakan pangkat variabel x pada pembilang dan penyebut, sehingga bisa diterapkan theorema dasar limit. Hati-hati dalam menyamakan pangkatnya.

--- Soal No 29 ---

Nilai dari $\displaystyle \lim_{h\to0 }\frac{cos(x+2h)-cos(x-2h)}{h\sqrt{4-h^{2}}}$ = … .
A. $-sin^2x$
B. $sin^2x$
C. $-2sinx$
D. $sin2x$
E. $2sinx$

Kunci : C. $-2sinx$
Petunjuk :
1. ingatlah sifat $cosa-cosb=-2sin\left ( \frac{a+b}{2} \right )sin\left ( \frac{a-b}{2} \right )$ unutk mengubah bentuk pembilng pada soal, kemudian terapkan konsep dasar limit trigono.

--- Soal No 30 ---

Diketahui $f(x)=x^2+ax+b$ dengan $f(x)=1$ jika $\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x-3}{f(x)-f(3)}=\frac{1}{2}$ maka nilai $a+b$ = … .
A. 8
B. 0
C. -2
D. -4
E. -8

Kunci : B. 0
Petunjuk :
1. ganti semua fungsi pada soal sesuai yang diketahui pada soal, kemudian terapkan limit substitusi untuk menemukan nilai a dan b.

--- Soal No 31 ---

Diketahui $f(x)=x^2+ax+b$ dengan $f(b+1)=0$ dan $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x+b)}{x)}=-1$ maka nilai $a+2b$ = … .
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2

Kunci : B. -1
Petunjuk :
1. ganti semua fungsi pada soal sesuai yang diketahui pada soal, kemudian terapkan limit substitusi untuk menemukan hubungan nilai a dan b.