Pembuktian Rumus Turunan Perkalian dan Pembagian fungsi

Pembuktian Rumus $f'(x)=u'v+v'u$ dan $f'(x)=\frac{u'v-v'u}{v^2}$

untuk membuktikan rumus perkalian dan pembagian turunan fungsi, mari ingat dulu definisi dari turunan suatu fungsi. Dimana jika diketahui suatu fungsi $f(x)$ maka sesuai definisi $f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Sehingga dengan konsep turunan tersebut dapat dibuktikan rumus untuk turunan perkalian dan hasil bagi fungsi sebagai berikut. Apabila adik-adik lebih suka menenton video dari pada membaca penjelasan, silahkan simak video Pembuktian rumus turunan perkalian dan pembagian fungsi

Pembuktian Rumus $f'(x)=u'v+v'u$

Misalkan diketahui $f(x)=u.v$ dengan $u=g(x)$ dan $v=h(x)$, maka sesuai definisi diperoleh $f(x)=g(x).h(x)$ $f'(x)=g(x).h(x)$ $f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h).h(x+h)-g(x).h(x)}{h}$ pada tahap ini ambilah nilai $0=g(x).h(x+h)-g(x).h(x+h)$ dan tambahkan pada pembilangnya dan kelompokan, sehingga diperoleh $f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h).h(x+h)-g(x).h(x)+g(x).h(x+h)-g(x).h(x+h)}{h}$ $f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\left ( g(x+h).h(x+h)-g(x).h(x+h) \right )+\left ( g(x).h(x+h)-g(x).h(x) \right )}{h}$ $f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{ h(x+h) \left ( g(x+h)-g(x)\right )+g(x)\left ( h(x+h)-h(x) \right )}{h}$ $f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0} h(x+h). \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\left ( g(x+h)-g(x)\right )}{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0} g(x). \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\left ( h(x+h)-h(x) \right )}{h}$ $f'(x)=h(x).g'(x)+g(x).h'(x)$ $f'(x)=v.u'+u.v'$ .............................. $\therefore $ Terbukti

Pembuktian Rumus $f'(x)=\frac{u'v-v'u}{v^2}$

Misalkan diketahui $f(x)=\frac{u}{v}$ dengan $u=g(x)$ dan $v=h(x)$, maka sesuai definisi diperoleh
$f'(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$
$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{g(x+h)}{h(x+h)}-\frac{g(x)}{h(x)}}{h}$
$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{g(x+h).h(x)-g(x).h(x+h)}{h(x).h(x+h)}}{h}$
$f'(x)=f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h).h(x)-g(x).h(x+h)}{h.h(x).h(x+h)}$
pada tahap ini ambilah nilai $0=h(x).g(x)-h(x).g(x)$ dan tambahkan pada pembilangnya dan kelompokan, sehingga diperoleh


$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h).h(x)-g(x).h(x+h)+h(x).g(x)-h(x).g(x)}{h.h(x).h(x+h)}$
$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h).h(x)-h(x).g(x)-g(x).h(x+h)+h(x).g(x)}{h.h(x).h(x+h)}$
$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\left ( \frac{1}{h(x).h(x+h)} \right )\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{h(x)(g(x+h)-g(x))-\left ( g(x)(h(x+h)-h(x)) \right )}{h}$
$f'(x)=\left ( \frac{1}{h(x).h(x)} \right )\left ( \displaystyle \lim_{h \to 0}h(x).\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}-\displaystyle \lim_{h \to 0}g(x).\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{h(x+h)-h(x)}{h}\right )$
$f'(x)=\frac{1}{h(x).h(x)}.\left ( h(x).g'(x)- g(x).h'(x)\right )$
$f'(x)=\frac{1}{v.v}\left ( v.u'-u.v' \right )$
$f'(x)=\frac{u'.v-v'.u}{v^{2}}$ .............................. $\therefore $ Terbukti

silahkan dicermati dan hati-hati dalam membaca tiap barisnya, karena bentuknya susah untuk dilihat. Intinya dalam membuktikn rumus ini harus paham dulu konsep turunan fungsi. 

kata kunci : pembuktian rumus turunan, pembuktian rumus turunan hasil kali dan perkalian fungsi.