Pembuktian Rumus f'(x)=u'v+v'u dan f'(x)=\frac{u'v-v'u}{v^2}
untuk membuktikan rumus perkalian dan pembagian turunan fungsi, mari ingat dulu definisi dari turunan suatu fungsi. Dimana jika diketahui suatu fungsi
f(x) maka sesuai definisi
f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}. Sehingga dengan konsep turunan tersebut dapat dibuktikan rumus untuk turunan perkalian dan hasil bagi fungsi sebagai berikut. Apabila adik-adik lebih suka menenton video dari pada membaca penjelasan, silahkan simak video
Pembuktian rumus turunan perkalian dan pembagian fungsi
Pembuktian Rumus f'(x)=u'v+v'u |
Misalkan diketahui f(x)=u.v dengan u=g(x) dan v=h(x), maka sesuai definisi diperoleh
f(x)=g(x).h(x)
f'(x)=g(x).h(x)
f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h).h(x+h)-g(x).h(x)}{h}
pada tahap ini ambilah nilai 0=g(x).h(x+h)-g(x).h(x+h) dan tambahkan pada pembilangnya dan kelompokan, sehingga diperoleh
f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h).h(x+h)-g(x).h(x)+g(x).h(x+h)-g(x).h(x+h)}{h}
f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\left ( g(x+h).h(x+h)-g(x).h(x+h) \right )+\left ( g(x).h(x+h)-g(x).h(x) \right )}{h}
f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{ h(x+h) \left ( g(x+h)-g(x)\right )+g(x)\left ( h(x+h)-h(x) \right )}{h}
f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0} h(x+h). \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\left ( g(x+h)-g(x)\right )}{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0} g(x). \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\left ( h(x+h)-h(x) \right )}{h}
f'(x)=h(x).g'(x)+g(x).h'(x)
f'(x)=v.u'+u.v' .............................. \therefore Terbukti
|
Pembuktian Rumus f'(x)=\frac{u'v-v'u}{v^2}
Misalkan diketahui f(x)=\frac{u}{v} dengan u=g(x) dan v=h(x), maka sesuai definisi diperoleh
f'(x)=\frac{g(x)}{h(x)}
f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{g(x+h)}{h(x+h)}-\frac{g(x)}{h(x)}}{h}
f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{g(x+h).h(x)-g(x).h(x+h)}{h(x).h(x+h)}}{h}
f'(x)=f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h).h(x)-g(x).h(x+h)}{h.h(x).h(x+h)}
pada tahap ini ambilah nilai 0=h(x).g(x)-h(x).g(x) dan tambahkan pada pembilangnya dan kelompokan, sehingga diperoleh
f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h).h(x)-g(x).h(x+h)+h(x).g(x)-h(x).g(x)}{h.h(x).h(x+h)}
f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h).h(x)-h(x).g(x)-g(x).h(x+h)+h(x).g(x)}{h.h(x).h(x+h)}
f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\left ( \frac{1}{h(x).h(x+h)} \right )\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{h(x)(g(x+h)-g(x))-\left ( g(x)(h(x+h)-h(x)) \right )}{h}
f'(x)=\left ( \frac{1}{h(x).h(x)} \right )\left ( \displaystyle \lim_{h \to 0}h(x).\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}-\displaystyle \lim_{h \to 0}g(x).\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{h(x+h)-h(x)}{h}\right )
f'(x)=\frac{1}{h(x).h(x)}.\left ( h(x).g'(x)- g(x).h'(x)\right )
f'(x)=\frac{1}{v.v}\left ( v.u'-u.v' \right )
f'(x)=\frac{u'.v-v'.u}{v^{2}} .............................. \therefore Terbukti

silahkan dicermati dan hati-hati dalam membaca tiap barisnya, karena bentuknya susah untuk dilihat. Intinya dalam membuktikn rumus ini harus paham dulu konsep turunan fungsi.
kata kunci : pembuktian rumus turunan, pembuktian rumus turunan hasil kali dan perkalian fungsi.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar