Limit merupakan salah satu ilmu ajar dalam matematika yang mempelajari nilai pendekatan suatu titik pada fungsi, untuk menuliskan nilai limit pada suatu titik $($ x mendeki a$)$ dapat dituliskan sebagi berikut :
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ dibaca Limit $x$ mendekati $a$ untuk $f(x)$. Dalam mencari nilai suatu limit dapat dilakukan dengan beberapa cara yaitu :
| Metode Substitusi |
|
Dalam menentukan nilai limit dengan metode substitusi hanya perlu mengganti nilai $x$ pada fungsi yang dilimitkan.
Contoh : Tentukan nilai $\lim_{x\rightarrow 1} (2x^{2}-4)$ = ... . Jawab: $= \lim_{x\rightarrow 1} 2x^{2}-4$ $=2(1)^{2}-4$ $=-2$ Namun metode ini akan gagal, saat menentukan nilai limit $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^{2}-4}{x-2}$, karena ketika nilai $x$ diganti dengan nilai pendekatannya, akan menghasilkan nilai tak tentu atau penyebut sama dengan $0$. Untuk itu nilai limit $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{2x^{2}-4}{x-2}$ dapat diselesaikan dengan metode faktor |
| Metode Faktor |
|
Metode faktor adalah metode dalam mencari nilai limit dengan cara memfaktorkan fungsi pada pembilang atau penyebut sehingga ada bentuk fungsi yang dapat disederhanakan dan mengakibatkan nilai penyebutnya tidak sama dengan 0 saat disubstitusi nilai $x$.
Contoh Tentukan nilai $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^{2}-4}{x-2}$ jawab $=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{(x-2)}$ $=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)}$, $($ coret nilai $(x-2)$ pada pembilang dan penyebut $)$ $=\lim_{x\rightarrow 2}(x+2)$ $=2+2$ $=4$ Namun cara faktor gagal saat ditemukan nilai fungsi yang tidak dapat difaktorkan atau saat difaktorkan tidak ada nilai yang dapat disederhanakan, contohnya $=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x^{2}-9)}{\sqrt{x^{2}+7}-4}=... .$. |
| Metode Kali Sekawan |
|
Metode Kali sekawan adalah cara menyelesaikan masalah limit dengan cara mengalikan kawan dari penyebut atau pembilang $($ ingat kawan dari $x+2$ adalah $x-2$ $)$
Contoh Tentukan nilai $=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x^{2}-9)}{\sqrt{(x^{2}+7}-4)}=... .$. jawab $=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x^{2}-9)}{\sqrt{(x^{2}+7}-4)}.\frac{\sqrt{x^{2}+7}+4}{\sqrt{x^{2}+7}+4}$ $=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x^{2}-9).\sqrt{x^{2}+7}+4}{(x^{2}+7-16)}$ $=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x^{2}-9).\sqrt{x^{2}+7}+4}{(x^{2}-9)}$, $($ coret nilai $(x^{2}-9)$ pada pembilang dan penyebut $)$ $=\lim_{x\rightarrow 1}(\sqrt{x^{2}+7}+4)$ $=\sqrt{3^{2}+7}+4$ $=8$ |
| Bentuk Nilai Limit Tak hingga |
|
Apabila suatu limit mendekati nilai tak hingga maka berikut beberapa cara dalam menyelesaian limit tak hingga aljabar.
1. Jika diketahui $=\lim_{x\rightarrow \infty } ax^m+bx^{n}+...$ dengan $m>n$ maka nilainya akan sama dengan $\infty$ jika $a>0$ dan sama dengan $-\infty$ jika $ a < 0$ 2. $=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{q_{1}x^{m}+q_{2}x^{m-1}+q_{3}x^{m-2}+...}{p_{1}x^{n}+p_{2}x^{n-1}+p_{3}x^{n-2}+...}$ maka nilainya
|
| Dalil L'Hopital |
|
Metode ini merupakan metode paling efektif untuk menentukan nilai limit, namun kita harus memahami konsep turunan dalam menggunakanya. Secara sederhana nilai limit akan diperoleh dengan cara menentukan turunan pembilang dan penyebutnya hingga tidak menghasilkan bentuk tak tentu, secara matematis dapat dituliskan $=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{'g(x)}$
Contoh : tentukan nilai $=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{(x-2)}$ jawab. $=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{(x-2)}$ $=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{2x}{(1)}$ $($ turunakan pembilang dan penyebut $)$ $=\frac{2.2}{(1)}$ $=4$ |
Untuk lebih memahamhi lebih lanjut tentang konsep Limit Trigonometri, berikut diberikan beberapa permasalahan yang dapat diselesaikan dengan konsep tersebut.
--- Soal No 1 ---
Tetukan nilai dari $=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2+3x-4}{x-1}$ ... .
Gunakan konsep diatas untuk menemukan nilai limitnya, yaitu dengan cara memfaktorkan pembilanganya. maka
=$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2+3x-4}{x-1}$
=$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x+4)(x-1)}{x-1}$
=$\lim_{x\rightarrow 1}(x+4)$
=$1+4$
=$5$
=$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2+3x-4}{x-1}$
=$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x+4)(x-1)}{x-1}$
=$\lim_{x\rightarrow 1}(x+4)$
=$1+4$
=$5$
Tidak ada komentar:
Posting Komentar