TRANSFORMASI GEOMETRI

Transformasi adalah cabang ilmu matematika yang membahas mengenai perubahan posisi dari suatu objek geometri. Secara umum ada 4 jenis transformasi yang akan dipelajari diantaranya sebagai berikut :

Perputaran - Rotasi)	Pergeseran - Tranlasi
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos\alpha  & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+a\\y+b \end{pmatrix}$
Perbesaran/pengecilan - Dilatasi	Pencerminan - Repleksi
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}k  & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos2\alpha  & sin2\alpha \\ sin2\alpha & -cos2\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$
Keterangan  $x'$ dan $y'$  = bayangan objek  $x$ dan $y$     = awal objek  $\alpha$              = besar sudut   $k$               = besar dilatasi	Pembuktian dan penjelasan rumus :  Rotasi: Pembuktian rumus  rotasi   Pergeseran :  Konsep Tranlasi  Pencerminan : Pembuktian rumus pencerminan

Untuk lebih memahamhi lebih lanjut tentang konsep dari geometri transformasi, berikut diberikan beberapa permasalahan yang dapat diselesaikan dengan konsep tersebut. 

--- Soal No 1 ---

Tentukan bayangan titik $(-2, 4)$ jika :

a. Dirotasikan dengan pusat $(0,0)$ sebesar $90^{o}$ berlawanan arah jarum jam

b. Digeser dengan vektor geser $(2,4)$

d. Dicerminkan dengan sumbu x

e. Didilatasi sebesar 3 dengan pusat titik asal

a. dengan cara langsung diperoleh, jika titik awal $(x,y)$ jika Dirotasikan dengan pusat $(0,0)$ sebesar $90^{o}$ berlawanan arah jarum jam maka bayangannya $(-y,x)$ sehingga hasinya adalah $(-4, -2)$
Jika menggunakan bentuk rumus diatas diperoleh
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos\alpha  & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos 90^{o}  & -sin 90^{o} \\ sin 90^{o} & cos 90^{o} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2-0\\4-0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0  & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\-2 \end{pmatrix}$
sehingga akan menghasilkan bayanganyang sama yaitu $(-4, -2)$

b. dengan menggunakan rumus di atas akan diperoleh
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2+2\\4+4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\8 \end{pmatrix}$
sehingga bayangan titiknya adalah $(0, 8)$

c. dengan menggunakan rumus di atas akan diperoleh
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos2.0^{o}  & sin2.0^{o} \\ sin2.0^{o} & -cos2.0^{o} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1a  & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\-4 \end{pmatrix}$
sehingga bayangan titiknya adalah $(2, -4)$

d. dengan menggunakan rumus di atas akan diperoleh
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3  & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2-0\\4-0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3  & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\4\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6\\12 \end{pmatrix}$
sehingga bayangan titiknya adalah $(-6, 12)$