Transformasi adalah cabang ilmu matematika yang membahas mengenai perubahan posisi dari suatu objek geometri. Secara umum ada 4 jenis transformasi yang akan dipelajari diantaranya sebagai berikut :
Perputaran - Rotasi) | Pergeseran - Tranlasi |
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+a\\y+b \end{pmatrix}$ |
Perbesaran/pengecilan - Dilatasi | Pencerminan - Repleksi |
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos2\alpha & sin2\alpha \\ sin2\alpha & -cos2\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ |
Keterangan $x'$ dan $y'$ = bayangan objek $x$ dan $y$ = awal objek $\alpha $ = besar sudut $k $ = besar dilatasi | Pembuktian dan penjelasan rumus : Rotasi: Pembuktian rumus rotasi Pergeseran : Konsep Tranlasi Pencerminan : Pembuktian rumus pencerminan |
Untuk lebih memahamhi lebih lanjut tentang konsep dari geometri transformasi, berikut diberikan beberapa permasalahan yang dapat diselesaikan dengan konsep tersebut.
--- Soal No 1 ---
Tentukan bayangan titik $(-2, 4)$ jika :
a. Dirotasikan dengan pusat $(0,0)$ sebesar $90^{o}$ berlawanan arah jarum jam
b. Digeser dengan vektor geser $(2,4)$
d. Dicerminkan dengan sumbu x
e. Didilatasi sebesar 3 dengan pusat titik asal
a. dengan cara langsung diperoleh, jika titik awal $(x,y)$ jika Dirotasikan dengan pusat $(0,0)$ sebesar $90^{o}$ berlawanan arah jarum jam maka bayangannya $(-y,x)$ sehingga hasinya adalah $(-4, -2)$
Jika menggunakan bentuk rumus diatas diperoleh
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos 90^{o} & -sin 90^{o} \\ sin 90^{o} & cos 90^{o} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2-0\\4-0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\-2 \end{pmatrix}$
sehingga akan menghasilkan bayanganyang sama yaitu $(-4, -2)$
b. dengan menggunakan rumus di atas akan diperoleh
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2+2\\4+4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\8 \end{pmatrix}$
sehingga bayangan titiknya adalah $(0, 8)$
c. dengan menggunakan rumus di atas akan diperoleh
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos2.0^{o} & sin2.0^{o} \\ sin2.0^{o} & -cos2.0^{o} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1a & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\-4 \end{pmatrix}$
sehingga bayangan titiknya adalah $(2, -4)$
d. dengan menggunakan rumus di atas akan diperoleh
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2-0\\4-0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\4\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6\\12 \end{pmatrix}$
sehingga bayangan titiknya adalah $(-6, 12)$
Jika menggunakan bentuk rumus diatas diperoleh
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos 90^{o} & -sin 90^{o} \\ sin 90^{o} & cos 90^{o} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2-0\\4-0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\-2 \end{pmatrix}$
sehingga akan menghasilkan bayanganyang sama yaitu $(-4, -2)$
b. dengan menggunakan rumus di atas akan diperoleh
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2+2\\4+4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\8 \end{pmatrix}$
sehingga bayangan titiknya adalah $(0, 8)$
c. dengan menggunakan rumus di atas akan diperoleh
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos2.0^{o} & sin2.0^{o} \\ sin2.0^{o} & -cos2.0^{o} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1a & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\-4 \end{pmatrix}$
sehingga bayangan titiknya adalah $(2, -4)$
d. dengan menggunakan rumus di atas akan diperoleh
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2-0\\4-0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\4\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6\\12 \end{pmatrix}$
sehingga bayangan titiknya adalah $(-6, 12)$
Tidak ada komentar:
Posting Komentar