Persamaan Lingkaran

Lingkaran merupakan salah satu objek geometri yang merupakan kumpulan titik yang memiliki jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu, titik tersebut nantinya akan disebut sebagai titik pusat lingkaran. Beriku beberapa bentuk persamaan lingkaran yang harus kita pahami dengan baik: 

Keterangan	Bentuk rumus
Persamaan lingkaran dengan pusat $(0,0)$ dengan jari - jari = $r $	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$
Persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b)$ dengan jari - jari = $r $	$ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
Bentuk umum persamaan lingkaran	$x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ Dengan untuk mencari pusat gunakan bentuk: $(-(\frac{1}{2}A), -(\frac{1}{2}B))$ Dan untuk mencari jari-jari gunakan bentuk: $\sqrt{ \left ( \left ( \frac{1}{2}A \right ) ^{2}+\left ( \frac{1}{2}A \right )^{2}-C\right ) }$
Kedudukan titik dengan lingkaran	Kedudukan titik terhadap lingkaran dapat di lihat jika titik ((x_{1},y_{1})) disubstitusikan ke persamaan lingkaran atau ke bentuk umum persamaan lingkaran, misal $m = (x_{1})^{2}+(y_{1})^{2}+Ax_{1}+By_{1}+C$  maka : Titik tepat pada lingkaran jika m = 0 Titik pada dalam lingkaran jika m <  0 Titik pada luar lingkaran jika m > 0
Kedudukan garis dengan lingkaran	Kedudukan garis dengan lingkaran dapat dilihat dari hubungan antara jari - jari dengan jarak garis dengan pusat Lingkaran misal jarak garis dengan pusat adalah $p$ maka : Garis memotong lingkaran di dua titik jika  $p<r$ Garis menyinggung lingkaran jika  $p<r$ Garis tidak memotong lingkaran  jika  $p<r$ nilai $p$ dapat cari dengan cara  $p=\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |$ dengan $(x_{1},y_{1})$ adalah pusat lingkaran dan $ax+by+c=0$ adalah persamaan garis yang akan di cari kedudukannya.
Kedudukan lingakaran dengan lingkaran	kedudukan 2 lingkaran dapat dilihat dari hubungan antara jarak pusat $(d)$ dengan jari jari  kedua lingkaran $(r_{1})$ dan $(r_{2})$, dua  lingkaran akan  Sepusat jika $d = 0$  Bersinggugan dalam jika $d=r_{1}-r_{2}$ Di dalam lingakaran jika $d \leqslant r_{1}-r_{2}$ Memotong lingkaran di dua titik jika $ r_{1}-r_{2} < d < r_{1}+r_{2}$ Bersingungan di luar jika $d=r_{1}+r_{2}$ Berada di luar lingkaran jika $d>r_{1}+r_{2}$ Selain cara di atas, dapat juga dicari dengan cara mensubstitusikan persamaan garis ke persamaan lingkaran dan temukan nilai diskriminannya untuk melihat posisi garis dengan linkaran.
Persamaan gari singgung lingkaran jika lingkaran berpusat di titik (a,b)	Jika titik ( x1 , y1 ) tepat pada lingkaran, maka persaman garis singgungnya adalah:  $(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}$ Jika titik ( x1 , y1 ) di luar lingkaran, maka persaman garis singgungnya dapat dicari dengan mengikuti langkah:  temukan persamaan garis polarnya dengan cara $(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}$ Substitusikan garis polar ke persamaan lingkarannya sehingga akan menghasilkan persamaan kuadrat dalam dalam variabel $x$ kemudian temkan nilai akarnya yang nanti akan menjadi absis dari titik singgungnya.  Substitusikan nilai $x$ ke persamaan garis polar maka maka akan diperoleh nilai $y$ Sehingga dari langkah 2 dan 3 akan diperoleh 2 titik yang mana titik tersebut adalah titik singgungnya dan persamaan garis singgungnya dapat di cari dengan cara $(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}$
Persamaan garis singgung lingkaran jika diketahui gradienya dan pusat lingkaran pada titik $(a,b)$	$(y-b)=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1} $
Penjelasan dan pembuktian rumus Penjelasn konsep lingkaran dan penurunsn rumus persamaan ingkaran ----- Lihat Penjelasan -----

Untuk lebih memahamhi lebih lanjut tentang konsep dari geometri transformasi, berikut diberikan beberapa permasalahan yang dapat diselesaikan dengan konsep tersebut. 

--- Soal No 1 ---

Tentukan Persamaan lingkaran jika  :

a. jika diketahui pusatnya di titik $(0,0)$ dengan $r=5$

b. jika diketahui pusatnya di titik $(2,3)$ dengan $r=5$

c. jika diketahui pusatnya di titik $(2,1)$ melalui titik $(4,2)$

d. jika diketahui pusatnya di titik $(1,1)$ menyinggung garis $3x+4y=12$

a.  Gunakan bentuk pesamaan yang pertama yaitu $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
maka persamaan lingkarannya adalah
$x^{2}+y^{2}=5^{2}$
$x^{2}+y^{2}=25$

b. Gunakan bentuk persamaan yang kedua $ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$, maka
$ (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=5^{2}$
$x^{2}-4x+4+y^{2}-6y+9=25$
$x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=0$

c. Jika membuat persamaan lingkaran yang diperlukan adalah pusat dan jari - jari, di dalam soal nilai pusat sudah diketahui dan hanya perlu dicari nilai $r$. Nilai $r$ adalah jarak antara pusat dengan sembarang titik pada lingkaran, sehingga sesuai informasi dalam soal dengan memisalkan $(x_{1},y_{1})$ adalah pusat dan $(x_{2},y_{2})$ adalah titik pada ligkaran, sehingga nilai $r$ dapat dicari dengan :
$r=\sqrt{(4-2)^{2}+(2-1)^{2}}$
$r=\sqrt{(4+1)}$
$r=\sqrt{5}$
sehinga persamaan lingkarannya adalah.
$ (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=5^{2}$
$ (x-2)^{2}+(y-1)^{2}=\sqrt{5}^{2}$
$x^{2}-4x+4+y^{2}-2y+1=5$
$x^{2}+y^{2}-4x-2y=0$

d. sama dengan soal c, kita perlu mencari $r$ dengan cara mencari jarak garis dengan pusat dengan cara $p=\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |$ sehingga
$r=\left | \frac{3.1+4.1+(-12)}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right |$
$r=\left | \frac{3+4-12}{5} \right |$
$r=\left | \frac{-5}{5} \right |$
$r=\left | -1 \right |$ karena mutlak, maka
$r=1$
sehingga persamaan lingkarannya adalah
$ (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1^{2}$
$x^{2}-2x+1+y^{2}-2y+1=1$
$x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0$