Turunan Fungsi Trigonometri

Pada pembelajaran sebelumnya kita telah belajar tentang turunan fungsi aljabar,dimana pada pembelajaran tersebut kita telah dapat menyelesaikan soal turunan fungsi aljabar. Ternyata konsep turunan tidak hanya dapat diterapkan pada fungsi aljabar namun dapat diterapkan juga pada fungsi trigonometri, dengan definisi turunan kita akan dapat menemukan turunan fungsi trigonometri dasar untuk sin, cos, tan dan bentuk trigono lainnya. berikut ini beberapa bentuk umum trigonometri dan turunanya.

Turunan fungsi Alkjabar

Agar lebih mudah dalam memahami cara menemukan turunan suatu fungsi trigonometri, berikut diberikan beberapa bentuk umum fungsi dan turunannya secara umum.

$\begin{matrix} \text{JIKA FUNGSINYA} & MAKA & \text{TURUNANNYA} \\ f(x)=sin g & \Rightarrow & f'(x)= g'.cos g\\ f(x)=cos g & \Rightarrow & f'(x)= -g'.sin g\\ f(x)=tan g & \Rightarrow & f'(x)= g'.sec^{2} g\\ f(x)=sec g & \Rightarrow & f'(x)= g'.sec g.tan g\\ f(x)=csec g & \Rightarrow & f'(x)= -g'.csec g.cot g\\ \end{matrix}$

Keterangan

1. $g$ merupakan suatu fungsi tertentu
2. sifat turunan fungsi perkalian dan pembagian juga berlaku dalam turunan trigonometri

Untuk lebih memahami materi diatas silahkan perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

--- Soal No 1 ---

Jika diketahui suatu buah fungsi $f(x)=sin(2x-2)$ maka turunan fungsi $f(x)$ adalah ... .

Dengan menggunakan sifat turunan diatas maka temukan dulu turunan fungsi $g$ dimana fungsi $g=2x-2$ dan $g'=2$. Sehingga turunanan diperoleh sebagai berikut
$\begin{align*} f(x)&= sin (2x-5) \\ f'(x) &= 2.cos(2x-5) \end{align*}$

--- Soal No 2 ---

Jika diketahui suatu buah fungsi $f(x)=cos(2x^2-x-23)$ maka turunan fungsi $f(x)$ adalah ... .

Dengan menggunakan sifat turunan diatas maka temukan dulu turunan fungsi $g$ dimana fungsi $g=2x^2-x-23$ dan $g'=4x-1$. Sehingga turunanan diperoleh sebagai berikut
$\begin{align*} f(x)&= cos(2x^2-x-23) \\ f'(x) &= -(4x-1).sin(2x^2-x-23) \end{align*}$

--- Soal No 3 ---

Jika diketahui suatu buah fungsi $f(x)=3sinx-cosx$ maka turunan fungsi $f(x)$ adalah ... .

Dengan menggunakan sifat turunan diatas maka diperoleh sebagai berikut
$\begin{align*} f(x)&= 3sinx-cosx \\ f'(x) &= 3cosx-(-sinx) \\ &= 3cosx+sinx \\ \end{align*}$

--- Soal No 4 ---

Jika diketahui suatu buah fungsi $f(x)=\frac{sinx}{cosx}$ maka turunan fungsi $f(x)$ adalah ... .

Dengan menggunakan sifat turunan diatas maka misalkan dulu nilai $u=sinx$ maka $u'=cosx$ dan $v=cosx$ maka $v'=-sinx$, maka sesuai dengan theorema pembagian turunan akan diperoleh
$\begin{align*} f(x)&= \frac{u}{v} \\ f'(x) &= \frac{u'v-v'u}{v^2} \\ &= \frac{cosx.cosx-(-sinx)(sinx)}{cos^2x} \\ &= \frac{cos^x+sin^2x}{cos^2x} \\ &= \frac{1}{cos^2x} \\ &= sec^2x \\ \end{align*}$

--- Soal No 5 ---

Jika diketahui suatu buah fungsi $f(x)=sinx(2+cosx)$ maka turunan fungsi $f(x)$ adalah ... .

Dengan menggunakan sifat turunan diatas maka misalkan dulu nilai $u=sinx$ maka $u'=cosx$ dan $v=(2+cosx)$ maka $v'=-sinx$, maka sesuai dengan theorema pembagian turunan akan diperoleh
$\begin{align*} f(x)&= u.v \\ f'(x) &= u'v-v'u \\ &= (cosx)(2+cosx)+(-sinx).sinx \\ &= 2cosx+cos^2-sin^2x \\ &= 2cosx+cos2x \\ \end{align*}$

Untuk lebih memahami materi tentang turunan fungsi aljabar, maka silahkan coba latihan soal berikut ini.

LATIHAN SOAL

1	Temukanlah turunan fungsi trigonometri berikut ini ... a. $f(x)= cos(2x-3)$ b. $f(x)= sin2x.cosx$ c. $f(x)=\frac{cosx}{sinx}$ d. $f(x)=cos^2x$ e. $f(x)=x^2-3sin2x$