Turunan Fungsi Aljabar

Pada pembelajaran sebelumnya kita telah belajar tentang definisi turunan, dimana disana dibahas tentang bagaimana cara menemukan turunan dari suatu fungsi dengan definisi yang diturunkan dari konsep limit. Nah apakah mungkin kita dapat menemukan turunan fungsi khususnya pada fungsi aljabarf tanpa menggunakan definisi dan hanya menggunakan aturan-aturan tertentu saja. Pada dasarnya secara sederhana dapat diperumum metode menemukan turunan fungsi aljabar diperoleh dengan cara mengalikan pangkat dengan koefisien dan pangkatnya dikurangi 1. Turunan fungsi disimbolkan dengan tanda aksen $(')$, dimana jika diketahui suatu fungsi $f(x)$ maka turunanya fungsinys disimbolkan dengan $f'(x)$ Agar lebih jelasnya berikut ini dijelaskan beberapa bentuk umum yang dapat diterapkan ketika menyelesaikan turunan fungsi aljabar.

Turunan fungsi Alkjabar

agar lebih mudah dalam memahami cara menemukan turunan suatu fungsi, berikut diberikan beberapa bentuk umum fungsi dan turunannya secara umum.

$\begin{matrix} \text{JIKA FUNGSINYA} & MAKA & \text{TURUNANNYA} \\ f(x)=k & \Rightarrow & f'(x)=0 \\ f(x)=x & \Rightarrow & f'(x)=1 \\ f(x)=k.x & \Rightarrow & f'(x)=k \\ f(x)=x^n & \Rightarrow & f'(x)=n.x^{n-1} \\ f(x)=g(x)+h(x) & \Rightarrow & f'(x)=g'(x)+h'(x) \\ f(x)=g(x)-h(x) & \Rightarrow & f'(x)=g'(x)+h'(x) \\ f(x)=u.v & \Rightarrow & f'(x)=u'v+v'u \\ f(x)=\frac{u}{v} & \Rightarrow & f'(x)=\frac{u'v-v'u}{v^2} \\ \end{matrix}$

Keterangan

1. $k$ merupakan bilangan real
2. $u$ dan $v$ merupakan suatu fungsi tertentu

Untuk lebih memahami materi diatas silahkan perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

--- Soal No 1 ---

Jika diketahui suatu buah fungsi $f(x)=2$ maka turunan fungsi $f(x)$ adalah ... .

Dengan menggunakan turunan diatas maka diperoleh
$\begin{align*} f(x)&= 2 \\ f'(x) &= 0 \end{align*}$

--- Soal No 2 ---

Jika diketahui suatu buah fungsi $f(x)=5x-3$ maka turunan fungsi $f(x)$ adalah ... .

Dengan menggunakan turunan diatas maka diperoleh
$\begin{align*} f(x)&= 5x-3 \\ f'(x) &= 5-0 \\ &= 5 \\ \end{align*}$

--- Soal No 3 ---

Jika diketahui suatu buah fungsi $f(x)=7x^2-3x-6$ maka turunan fungsi $f(x)$ adalah ... .

Dengan menggunakan turunan diatas maka diperoleh
$\begin{align*} f(x)&= 7x^2-3x-6 \\ f'(x) &= 7.2x-3-0 \\ &= 14x-3 \\ \end{align*}$

--- Soal No 4 ---

Jika diketahui suatu buah fungsi $f(x)=(2x-3)(x-2)$ maka turunan fungsi $f(x)$ adalah ... .

menyelesaikan soal ini dapat dilakukan dengan dua cara yaitu dengan sifat-sifat diatas atau juga bisa dijabarkan lebih dahulu. jika diselesaikan dengan cara penjabaran lebih dulu maka akan diperoleh.
$\begin{align*} f(x)&= (2x-3)(x-2) \\ &= 2x^2-4x-3x+6 \\ &= 2x^2-7x+6 \\ f'(x) &= 2.2x-7-0 \\ &= 4x-7 \\ \end{align*}$

Namun jika menggunakan theorema diatas akan diperoleh dengan cara memisalkan $u=2x-3$ sehingga $u'=2$ dan $v=x-2$ maka $v'=1$ sehingga sesuai theorema perkalian akan diperoleh.
$\begin{align*} f(x)&= u.v \\ f'(x)&= u'v+v'u \\ &= 2(x-2)+1(2x-3) \\ &= 2x-4+2x-3 \\ &= 4x-7 \\ \end{align*}$

--- Soal No 5 ---

Jika diketahui suatu buah fungsi $f(x)=\frac{2x^2-3x-1}{x-1}$ maka turunan fungsi $f(x)$ adalah ... .

Dengan menggunakan konsep diatas maka misalkan $u=2x^2-3x-1$ sehingga $u'=4x-3$ dan $v=x-1$ maka $v'=1$ sehingga sesuai theorema permbagian akan diperoleh.
$\begin{align*} f(x)&= \frac{u}{v} \\ f'(x)&= \frac{u'v-v'u}{v^2} \\ &=\frac{(4x-3)(x-1)-1.(2x^2-3x-1)}{(x-1)^2} \\ &=\frac{4x^2-4x+3-2x^2+3x+1}{(x-1)^2} \\ &=\frac{2x^2-x+4}{(x-1)^2} \\ \end{align*}$

Untuk lebih memahami materi tentang turunan fungsi aljabar, maka silahkan coba latihan soal berikut ini.

LATIHAN SOAL

1	Temukanlah turunan fungsi aljabar berikut ini ... a. $f(x)=2x^2-4x-5$ b. $f(x)=(x^2-3)(x-3)$ c. $f(x)=(x-3)(5x^2+4)$ d. $f(x)=\frac{2x-3}{x-4}$ e. $f(x)=\frac{2x^2-3x-6}{x-1}$