Soal OSN KSN MATEMATIKA SMP Tahun 2024

--- Soal No 1 ---

Atlet bulu tangkis Anthony Ginting akan menjalani pertandingan persahabatan dengan rekan sesama timnya, Jonathan Christie. Pertandingan akan berakhir apabila salah satu pemain memenangkan dua set secara langsung atau memenangkan dua dari tiga set permainan $rubber set$. Tim pelatih Anthony Ginting menyatakan bahwa peluang Anthony Ginting dapat memenangkan suatu set adalah 1,6 kali lipat peluang Anthony Ginting memenangkan pertandingan. Pertandingan tidak dapat berakhir seri/imbang. Berdasarkan pernyataan tim pelatih Anthony Ginting tersebut, peluang Jonathan Christie memenangkan pertandingan tersebut adalah ... ... .
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{5}{32}$
D. $\frac{27}{32}$

Kunci : B. $\frac{3}{4}$
Petunjuk !
1. misalkan peluang ginting menang adalah $x$ maka peluang jojo menang adalah $(1-x)$.
2. dari kata "peluang Anthony Ginting dapat memenangkan suatu set adalah 1,6 kali lipat peluang Anthony Ginting memenangkan pertandingan" maka kita diminta untuk menemukan kemungkian cara ginting menang, dimana kemungkinan ini akan dihitung dalam variabel $x$
3. dari langkah 2, maka akan ditemukan 3 kemungkinan cara ginting menang. maka jumlah 1,6 dari jumlah semua kemungkinan tersebut sama dengan peluang ginting menang yaitu $x$. dari pernyataan ini akan ditemukan nilai $x$
4. jika nilai $x$ sudah ada maka peluang jonathan menang bisa ditemukan

--- Soal No 2 ---

Diketahui sistem persamaan sebagai dengan $a, b$ dan $c$ adalah bilangan real positif.
$a = bc$
$b = c(a + 2)$
$c = b(a − 2)$ Maka nilai dari $a^2+b^2+c^2$ adalah ...
A. $15$
B. $15-4\sqrt{5}$
C. $225$
D. $15+4\sqrt{5}$

Kunci : A. $15$
Petunjuk !
1. substitusi nilai $b = c(a + 2)$ ke $a = bc$ maka akan diperoleh nilai $a^2$
2. substitusi nilai $a = bc$ ke $b = c(a + 2)$ akan diperoleh nilai $c^2$. Jika menemukan bentuk pecahan maka rasionalkan.
3. substitusi nilai $a = bc$ ke $c = b(a − 2)$ akan diperoleh nilai $c^2$. Jika menemukan bentuk pecahan maka rasionalkan.
4. jika langkah 1,2,3 sudah ditemukan, maka soal dapat terjawab.

--- Soal No 3 ---

Diketahui pada suatu kerucut dengan titik puncak T, pusat sisi alas O, dan diameter alas AB. Titik C berada pada ruas garis AT dengan AC = OC = 11cm. Titik D merupakan titik potong antara garis OT dan BC dengan CD = 7 cm. Volume kerucut tersebut adalah ... cm$^2$
A. $196π$
B. $960π$
C. $1960π$
D. $9600π$

Kunci : B. $960π$
Petunjuk !
1. Ilustrasikan soal ke dalam sebuah gambar, kemudian buatlah garis bantu pada segitiga AOC $($Sama kaki$)$ dari titik C ke P dimana CP tegak lurus AB. dari sini akan ditemukan perbandingan $AP:AO$ dan $BP:BO$
2. dari perbandingan $BP:BO$ dan dua buah segitiga yang sebangun yaitu BOD dan BPC akan ditemukan panjang BC.
3. Jika panjang BC sudah ada, maka coba terapkan rumus pytagoras pada segitiga PBC dengan mengambil sebuah pengali $x$ untuk panjang PB. sehingga dari langkah ini akan ditemukan panjang jari-jarinya.
4. terapkan konsep kesebangunan segitiga pada segitiga APC dan AOT untuk menemukan panjang OT.
5. melalui langkah ke 2,3,4 akan ditemukan jari-jari dan tinggi kerucut maka volumenya juga dapat dihitung.

--- Soal No 4 ---

Misalkan $N(a, b, c)$ menyatakan banyaknya kelipatan $a$ yang lebih besar dari $b$ dan kurang dari $c$. Sebagai contoh, $N(3,5,10) = 2$ karena terdapat dua bilangan antara 5 dan 10 yang merupakan kelipatan 3. Nilai dari $N(6^3,6^4,6^6)$ adalah ...
A. 216
B. 215
C. 209
D. 208

Kunci : 209
Petunjuk !
1. temukan dulu nilai $6^3$ kemudian temukan kelipatan $6^3$ yang lebih dari $6^4$
2. temukan juga kelipatan $6^3$ yang lebih kecil dari $6^6$
3. jika kedua bilangan tersebut sudah ditemukan, maka banyaknya bilangan yang ada bisa ditemukan dengan konsep barisan dan deret artimatika yaitu dengan rumus suku ke n nya.

--- Soal No 5 ---

Perhatikan Gambar Berikut.

Diketahui bahwa panjang BD = CD, AJ = JD, BE = DE , dan DG sejajar CF. Jika perbandingan luas daerah ⊿ADH dan ⊿ABC dinyatakan dalam bentuk yang paling sederhana m ∶ n, maka nilai dari m + n adalah ...
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

Kunci : B. 6
Petunjuk !
1. dari gambar akan diperoleh perbandingan luas segitiga ABC dengan segitiga AED, dengan memanfaatkan perbandingan alas segitiganya yaitu perbandingan sisi ED dan BC
2. dengan konsep kesebangunan segitiga ADH dan EIC, maka akan ditemukan perbandingan sisi EH dengan HI dan EH dengan AE. melalui perbandingan ini juga akan ditemukan pula perbandingan luas AED dan ADH.
3. substitusikan perbandingan di point 1 dengan point 2 maka akan ditemukan luas perbandingan ADH dengan ABC

--- Soal No 6 ---

Jika $x^3+\frac{1}{x^3}=18$ dengan $x \neq 0$ maka nilai dari $x^7+\frac{1}{x^7}+7$ adalah ... .
A. 845
B. 850
C. 855
D. 860

Kunci : B. 850
Petunjuk !
1. dari bentuk yang diketahui maka kita harus fokus menemukan nilai dari $\frac{1}{x}+x$ dengan cara memangkatkan 3 nilai tersebut dan hubungkan dengan apa yang diketahui di soal serta gunakan konsep akar-akar polinomial.
2. ketika nilai $\frac{1}{x}+x$ sudah ada, maka temukan nilai kuadrat dan nilai pangkat empatnya. kemudian nilai $x^7+\frac{1}{x^7}+7$ ditemukan dengan cara mengalikan hasil $\frac{1}{x}+x$ pangkat 3 dan pangkat empatnya.
3. hati-hati dalam mengalikan bentuk aljabarnya

--- Soal No 7 ---

Suatu segidelapan ABCDEFGH dibentuk dari persegi ABCD dan persegipanjang EFGH yang panjang sisi-sisinya merupakan bilangan bulat positif, gambar segi delapannya adalah sebagai berikut.

Jika luas persegi adalah $x^2$, luas persegi panjang adalah $y^2$ dengan $x < y$ dan $xy =8$, maka keliling segidelapan tersebut adalah
A. 30
B. 33
C. 34
D. 51

Kunci : A. 30
Petunjuk !
1. perhatikan di soal bahwa panjang sisinya adalah bilangan bulat positif, maka jelas nilai $x$ dan $y$ juga merupakan bilangan bulat dan nilai $x$ harus merupakan nilai kuadrat sempurna. dari informasi ini nilai $x$ dapay ditemukan
2. jika nilai $x$ ada maka nilai $y$ juga ada, kemudian penentuan keliling bangun tersebut akan ada beberapa kemungkinan tergantung dari cara peletakan panjang sisi di persegi panjangnya.
3. hati-hati dalam memperkirakan $x$ nya.

--- Soal No 8 ---

Jika bilangan real positif p, q, r, s memenuhi sistem persamaan
$p^2+q^2=r^2+s^2$
$p^2+s^2-ps=q^2+r^2+qr$
maka nilai dari $\frac{pq+rs}{ps+qr}$ adalah ... .
A. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Kunci :
Petunjuk !

--- Soal No 9 ---

Suatu bilangan bulat positif n disebut bilangan JUMPAT jika jumlah n bilangan bulat positif pertama dapat dinyatakan sebagai penjumlahan empat bilangan bulat positif yang berurutan. Banyaknya bilangan JUMPAT yang kurang dari 2024 adalah ... .
A. 252
B. 253
C. 504
D. 505

Kunci :
Petunjuk !

--- Soal No 10 ---

Diketahui persamaan $x^4 + ax^3 + 54x^2 − 108x + 81 = 0$ Dengan $a$ merupakan bilangan real yang memiliki 4 akar real berbeda, yaitu $r_1, r_2, r_3, r_4$ dengan $r_1. r_2. r_3. r_4 = \left ( \frac{r_1+ r_2 + r_3 + r_4}{4} \right )^4$ maka nilai dari $a$ adalah ... .
A. -12
B. -8
C. 3
D. 12

Kunci :
Petunjuk !

--- Soal No 11 ---

Sepuluh persegi panjang kecil dengan ukuran 1 cm × 2 cm akan digunakan untuk membentuk persegi panjang besar dengan ukuran 10 cm × 2 cm. Banyaknya cara membentuk persegi panjang besar tersebut adalah ...
Keterangan: Berikut adalah beberapa contoh kemungkinan cara membentuk persegi panjang besar.

A. 78
B. 89
C. 144
D. 233

Kunci : B. 89
Petunjuk !
1. Cobalah temukan semua kemungkinan banyak kombinasi posisi persehi panjang vertikal dan horizontalnya
2. temukan banyak cara menyusun setiap kombinasi yang ditemukan dengan konsep permutasi berulang
3. jumlahkan semua hasil yang diperoleh

--- Soal No 12 ---

Diketahui segitiga sama kaki ABC dengan panjang AB = BC = 8 cm dan ∠ABC = 120°. Titik tengah AB dan BC masing-masing adalah D dan E. Garis DF tegak lurus AB dan EF tegak lurus BC. Luas daerah yang diarsir adalah ... cm$^2$

A. $\frac{8}{3}\sqrt{3}$
B. $\frac{16}{3}\sqrt{3}$
C. $8\sqrt{3}$
D. $16\sqrt{3}$

Kunci :
Petunjuk !

--- Soal No 13 ---

Dari segi lima ABCDE dipilih 21 titik yang berbeda. Satu titik dari sisi AB , dua titik dari sisi BC, tiga titik dari sisi CD, empat titik dari sisi DE, lima titik sudut A, B, C,D, E dan enam titik dari sisi AE. Banyaknya segitiga yang dapat dibentuk dari seluruh titik yang dipilih adalah ...
A. 560
B. 770
C. 1239
D. 1330

Kunci : C. 1239
Petunjuk !
1. ingatlah untuk membuat segitiga kita memerlukan 3 buah titik, maka temukan semua kemungkinan segitiga yang dapat dibuat dari 21 titik yang diketahui
2. temukan pula kemungkinan segitiga yang dapat dibuat dari kelima sisi dengan jumlah titik yang berbeda-beda disetiap sisinya
3. sehingga total segitiga yang dapat dibuat adalah mengan menemukan selisih point 1 dengan jumlah semua kemungkian pada point 2.

--- Soal No 14 ---

Diketahui $x$ merupakan bilangan bulat positif kelipatan 2 kurang dari 50, $y$ merupakan bilangan bulat positif kelipatan 3, dan $y − x = 10$. Jika A adalah himpunan semua faktor prima dari $x$, B adalah himpunan semua faktor prima dari $y$ , dan jumlah semua anggota dari A ∪ B adalah 10, maka nilai dari $x + y$ adalah ...
A. 14
B. 26
C. 38
D. 50

Kunci :
Petunjuk !

--- Soal No 15 ---

Gina sedang bermain angka dengan mengisikan bilangan bulat 1, 2, ..., 9 pada tabel 3 × 3. Sehingga, hasil kali ketiga bilangan pada setiap baris adalah bilangan yang terdapat di kanan tabel dan hasil kali ketiga bilangan pada setiap kolom adalah bilangan yang terdapat di bawah tabel, seperti terlihat sebagai berikut

Maka nilai N adalah ...
A. 1
B. 3
C. 4
D. 6

Kunci :
Petunjuk !

--- Soal No 16 ---

Sekelompok bilangan berbeda terdiri dari 6 bilangan genap dan 4 bilangan ganjil. Dari kelompok bilangan tersebut diperoleh informasi sebagai berikut.
• Jangkauan data = 24.
• Jangkauan antar kuartil = 14.
• Bilangan ke-3, 5, 6 dan 8 adalah bilangan ganjil.
• Median = 2024.
• Rata-rata bilangan ganjil adalah 2022.
Rata-rata terbesar yang mungkin dimiliki oleh kelompok bilangan tersebut adalah
A. 2022
B. 2022,4
C. 2024
D. 2024,4

Kunci :
Petunjuk !

--- Soal No 17 ---

Jumlah semua bilangan ratusan yang ketiga digitnya berbeda dan tidak memuat 0 adalah
A. 359.640
B. 279.720
C. 277.200
D. 252.000

Kunci :
Petunjuk !

--- Soal No 18 ---

Diberikan 4 bola pejal berukuran sama dengan diameter 22 cm dan sebuah silinder dengan diameter 46 cm. Dua bola diletakkan di dasar silinder dengan jarak pusat keduanya 24 cm. Dua bola sisanya juga dimasukkan ke dalam silinder dengan jarak antar pusat keduanya 24 cm dan garis yang menghubungkan kedua pusat bola ini tegak lurus dengan garis yang menghubungkan kedua pusat bola sebelumnya. Jika air dimasukkan ke dalam silinder sehingga menutupi seluruh permukaan bola, maka volume minimum air yang dimasukkan adalah ... cm3
A. $307\frac{1}{3}\pi$
B. $529\frac{1}{3}\pi$
C. $1694\pi$
D. $7098\frac{2}{3}\pi$

Kunci :
Petunjuk !

--- Soal No 19 ---

Empat bilangan asli kurang dari sepuluh memiliki rata-rata, median dan modus tunggal yang membentuk tiga bilangan asli berurutan. Jika A adalah jumlah terkecil yang mungkin dari empat bilangan tersebut dan B adalah jumlah terbesar yang mungkin dari empat bilangan tersebut, maka nilai dari A + B dalah...
A. 46
B. 40
C. 42
D. 44

Kunci : B. 40
Petunjuk !
1. kemungkinan terkecil yang memenuhi kondisi tersebut adalah saat modusnya 1, maka dua bilangan yang lainnya dapat ditemukan, sedangkan nilai terbesarnya adalah saat modusnya 9 sehingga dua bilangan lainnya juga dapat ditemukan.
2. jumlahkan bilangan terkecil atau A dengan bilangan terbesarnya atau B.

--- Soal No 20 ---

Bilangan-bilangan 4, 5, 6, 9, 11, 12, 18, 20 dan 24 akan diletakkan pada 4 lingkaran dan 5 persegi yang disusun dalam satu baris sebagai berikut

Setiap bilangan harus digunakan tepat satu kali dan diletakkan di tempat yang berbeda. Selain itu, bilangan pada setiap lingkaran harus merupakan hasil penjumlahan dari dua bilangan pada persegi yang berada tepat di sebelah kiri dan kanannya. Jika x adalah bilangan pada persegi paling kiri dan y adalah bilangan pada persegi paling kanan, maka nilai terbesar yang mungkin dari x + y adalah ...
A. 32
B. 38
C. 42
D. 44

Kunci :
Petunjuk !

--- Soal No 21 ---

Diketahui $A = [0,1,2, ... ,9]$ dan $\bar{rstu}$ adalah bilangan empat digit dengan $r, s,t, u$ adalah anggota A yang berbeda. Jika $\bar{rstu} + \bar{stu}= \bar{vwxyz}$ dengan $r, s,t, u, v, w, x, y, z$ adalah anggota A yang berbeda, maka anggota A yang tidak digunakan dalam operasi penjumlahan tersebut adalah ...
A. 2
B. 3
C. 5
D. 8

Kunci :
Petunjuk !

--- Soal No 22 ---

Banyaknya faktor dari 2024 yang lebih besar dari $\sqrt{2024}$ adalah ....
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16

Kunci :
Petunjuk !

--- Soal No 23 ---

Diketahui pertidaksamaan
$\sqrt{x-3}+\sqrt{6-x} \geq p$
Memiliki penyelesaian untuk $x ∈ R$ Nilai $p$ terbesar yang mungkin adalah ...
A. $\sqrt{6}$
B. $3$
C. $\sqrt{6}+\sqrt{3}$
D. $6$

Kunci :
Petunjuk !

--- Soal No 24 ---

Segi enam beraturan ABCDEF memiliki panjang sisi 2024 mm. Titik G adalah titik tengah AB dan titik H adalah titik tengah EG. Perbandingan luas daerah segitiga CDH dan segi enam ABCDEF adalah
A. 4 : 24
B. 5 : 24
C. 6 : 24
D. 7 : 24

Kunci :
Petunjuk !

--- Soal No 25 ---

Diketahui $a, b$ dan $c$ adalah bilangan ratusan yang satuannya sama dengan ratusannya. Jika $b = 2a + 1$ dan $c = 2b + 1$, maka banyaknya kemungkinan tripel $(a, b, c)$ yang berbeda adalah ...
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Kunci :
Petunjuk !