Apabila mempelajari bentuk Bilangan Berpangkat Pecahan dan Bentuk Akar maka harus memahami dulu sifat-sifat dasar dari bilangan berpangkat bilangan bulat $($ Untuk mempelajarinya silahkan klik PELAJARI $)$. Jika sudah memahami dengan baik, hal selanjutnya yang perlu dipahami adalah hubungan dari bilangan berpangkat ecahan dengan bilangan di dalam bentuk akar. dimana definisinya adalah.
Jika diketahui bentuk $a^{\frac{m}{n}}$ maka jika dibawa ke bentuk akar akan menjadi $\sqrt[n]{a^{m}}$. Semua sifat-sifat pada bilangan pangkat bilangan bulat akan berlaku pada bilangan berpangkat pecahan. Berikut beberapa sifat tambahan bentuk pangkat pecahan dan bentuk akar.
1. $a\sqrt{m}+b\sqrt{m}=(a+b)\sqrt{m}$
2. $a\sqrt{m}-b\sqrt{m}=(a-b)\sqrt{m}$
3. $\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{a.b}$
4. $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
5. $ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m.n]{a}$
1. $a\sqrt{m}+b\sqrt{m}=(a+b)\sqrt{m}$
2. $a\sqrt{m}-b\sqrt{m}=(a-b)\sqrt{m}$
3. $\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{a.b}$
4. $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
5. $ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m.n]{a}$
Contoh Soal
--- Soal No 1 ---
Bentuk sederhana dari bentuk akar $\frac{\sqrt[12]{2^6}}{\sqrt{8}}$ adalah ... .
Jawab.
Dengan menggunakan sifat-sifat diatas akan diperoleh
=$\frac{\sqrt[12]{2^6}}{\sqrt{8}}$
=$\frac{2^{\frac{6}{12}}}{\sqrt{4.2}}$
=$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2\sqrt{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$
=$\frac{1}{2}$
Dengan menggunakan sifat-sifat diatas akan diperoleh
=$\frac{\sqrt[12]{2^6}}{\sqrt{8}}$
=$\frac{2^{\frac{6}{12}}}{\sqrt{4.2}}$
=$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2\sqrt{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$
=$\frac{1}{2}$
--- Soal No 2 ---
Hasil dari operasi bilangan $\frac{(24)^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{12}}$ adalah ... .
Jawab.
=$\frac{(24)^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{12}}$
=$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{4.3}}$
=$\frac{\sqrt{4.6}}{\sqrt{4.3}}$
=$\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$
=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
=$\frac{\sqrt{18}}{3}$
=$\frac{\sqrt{9.2}}{3}$
=$9\frac{\sqrt{2}}{3}$
=$3\sqrt{2}$
=$\frac{(24)^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{12}}$
=$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{4.3}}$
=$\frac{\sqrt{4.6}}{\sqrt{4.3}}$
=$\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$
=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
=$\frac{\sqrt{18}}{3}$
=$\frac{\sqrt{9.2}}{3}$
=$9\frac{\sqrt{2}}{3}$
=$3\sqrt{2}$
--- Soal No 3 ---
Temukan hasil dari $\sqrt{14}.3\sqrt{8}.4\sqrt{7}$ ... .
Jawab.
Untuk menyelesaikan soal ini gunakanlah sifat ketiga serta konsep penyederhanaan bentuk akar seperti berikut ini.
$\begin{align*} \sqrt{14}.3\sqrt{8}.4\sqrt{4} &= \sqrt{7.2}.3\sqrt{4.2}.4\sqrt{7}\\ &= \sqrt{7.2}.3.2\sqrt{2}.4\sqrt{7} \\ &= 3.2.4 \sqrt{7.7.2.2}\\ &= 24.\sqrt{49.4} \\ &= 24.7.2 \\ &= 336 \end{align*}$
Untuk menyelesaikan soal ini gunakanlah sifat ketiga serta konsep penyederhanaan bentuk akar seperti berikut ini.
$\begin{align*} \sqrt{14}.3\sqrt{8}.4\sqrt{4} &= \sqrt{7.2}.3\sqrt{4.2}.4\sqrt{7}\\ &= \sqrt{7.2}.3.2\sqrt{2}.4\sqrt{7} \\ &= 3.2.4 \sqrt{7.7.2.2}\\ &= 24.\sqrt{49.4} \\ &= 24.7.2 \\ &= 336 \end{align*}$
--- Soal No 4 ---
Temukan hasil dari $\frac{3\sqrt{32}.2\sqrt{75}}{12\sqrt{150}}$ ... .
Jawab.
Untuk menyelesaikan soal ini gunakanlah sifat ketiga serta konsep penyederhanaan bentuk akar seperti berikut ini.
$\begin{align*} \frac{3\sqrt{32}.2\sqrt{75}}{12\sqrt{150}} &= \frac{3\sqrt{16.2}.2\sqrt{25.3}}{12\sqrt{25.6}} \\ &= \frac{3.4\sqrt{2}.2.5\sqrt{3}}{12.5\sqrt{6}} \\ &= \frac{12.10 \sqrt{6}}{60\sqrt{6}} \\ &= \frac{120}{60} &= 2 \end{align*}$
Untuk menyelesaikan soal ini gunakanlah sifat ketiga serta konsep penyederhanaan bentuk akar seperti berikut ini.
$\begin{align*} \frac{3\sqrt{32}.2\sqrt{75}}{12\sqrt{150}} &= \frac{3\sqrt{16.2}.2\sqrt{25.3}}{12\sqrt{25.6}} \\ &= \frac{3.4\sqrt{2}.2.5\sqrt{3}}{12.5\sqrt{6}} \\ &= \frac{12.10 \sqrt{6}}{60\sqrt{6}} \\ &= \frac{120}{60} &= 2 \end{align*}$
--- Soal No 5 ---
Temukan hasil dari $\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...}}}}}$ ... .
Jawab.
Untuk menyelesaikan soal ini hal pertama yang kita lakukan adalah memisalkan nilai $\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...}}}}}=x$, kemudian kuadratkan nilai $x$ sehingga akan diperoleh persamaan sebagai berikut.
$\begin{align*} x &= \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...}}}}} \\ x^2 &= \left ( \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...}}}}} \right )^2 \\ x^2 &= 6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...}}}}} \\ x^2 &= 6 + x \\ x^2-x-6 &= 0 \\ (x-3)(x+2) &= 0 \\ \end{align*}$
maka nilai $x$ yang memenuhi mungkin $x=3$ atau $x=-2$, namun karena kita mencari nilai $x$ di dalam akar maka kita pilih nilai $x$ yang positif yaitu $x=3$
Untuk menyelesaikan soal ini hal pertama yang kita lakukan adalah memisalkan nilai $\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...}}}}}=x$, kemudian kuadratkan nilai $x$ sehingga akan diperoleh persamaan sebagai berikut.
$\begin{align*} x &= \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...}}}}} \\ x^2 &= \left ( \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...}}}}} \right )^2 \\ x^2 &= 6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...}}}}} \\ x^2 &= 6 + x \\ x^2-x-6 &= 0 \\ (x-3)(x+2) &= 0 \\ \end{align*}$
maka nilai $x$ yang memenuhi mungkin $x=3$ atau $x=-2$, namun karena kita mencari nilai $x$ di dalam akar maka kita pilih nilai $x$ yang positif yaitu $x=3$
Untuk lebih memahami bentuk bilangan berpangkat pecahan dan bentuk akar, maka silahkan gunakan sifat-sifat diatas unutk menyelesaikan soal-soal berikut ini. Jelilah dalam mengubah dan menyederhanakan bentuk bilangan berpangkatnya sehingga menemukan langkah yang paling efektif.
LATIHAN SOAL
--- Soal No 1 ---
Temukan nilai dari $ \left ( \frac{3^{\frac{1}{3}}.4^{\frac{1}{6}}}{9^{\frac{1}{6}}.2^{\frac{1}{3}}} \right )^{2023}$ ...
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2
E. -2
--- Soal No 2 ---
Sebuah persegi panjang memiliki panjang $3\sqrt{6}$ dan lebar $4\sqrt{3}$ maka tentukan luas persegi panjang tersebut ... .
A. $12\sqrt{6}$
B. $6\sqrt{6}$
C. $24\sqrt{6}$
D. $24\sqrt{2}$
E. $42\sqrt{2}$
Tidak ada komentar:
Posting Komentar