Olimpiade Sains Nasional $($ OSN $)$ atau sekarang sering disebut dengan Kompetisi Sains Nasional $($ KSN $)$ merupakan hal yang sama saja, kompetisi ini diperunutkan untuk siswa yang berada di jenjang SD, SMP, dan SMA. Berikut ini merupakan soal KSN matematika SMA tahun 2020, unutk melihat Kumpulan Soal KSN Matemematika SMA yang lainnya silahkan KLIK DISINI___
Selamat menegrjakan.
Selamat menegrjakan.
Sebelum dilanjutkan mengerjakan soal, apabila nanti ada kekelirua atau koreksi jawaban yang salah silahkan tinggalkan komentar pada kolom paling bawah, karena kritik dan masukannya akan sangat membantu unutk kemajuan blog ini.
--- Soal No 1 ---
Misalkan diketahui
$f(x)=\frac{3(x-1)(x-2)}{2}+\frac{(x-2)(x-3)}{2}-2(x-1)(x-3)$.
maka niai dai $f(20)$ adalah ... .
A. 20
B. 160
C. -20
D. -160
E. 90
$f(x)=\frac{3(x-1)(x-2)}{2}+\frac{(x-2)(x-3)}{2}-2(x-1)(x-3)$.
maka niai dai $f(20)$ adalah ... .
A. 20
B. 160
C. -20
D. -160
E. 90
Kunci : A. 20
Petunjuk !
Karena diminta nilai $f(20)$ maka ubahlah setiap nilai x pada $f(x)$ dengan 20, kemudian selesaikan soalnya
Petunjuk !
Karena diminta nilai $f(20)$ maka ubahlah setiap nilai x pada $f(x)$ dengan 20, kemudian selesaikan soalnya
--- Soal No 2 ---
Diberikan sebuah kubus besar berukuran 3x3x3 yang seluruh permukaanya dicat dengan warna merah. Kubus tersebut dipotong menjadi 27 kubus satuan $($ Kubus berukuran 1x1x1 $)$. Diketahui bahwa amir mengambil satu kubus kecil yang salah satu sisinya berwarna merah. Peluang kubus kecil yang diambil Amir memilili tepat dua sisi berwarna merah ... .
A. $\frac{12}{27}$
B. $\frac{8}{27}$
C. $\frac{18}{27}$
D. $\frac{12}{26}$
E. $\frac{8}{26}$
A. $\frac{12}{27}$
B. $\frac{8}{27}$
C. $\frac{18}{27}$
D. $\frac{12}{26}$
E. $\frac{8}{26}$
Kunci : D. $\frac{12}{26}$
Petunjuk !
1. Ilustrasikan soal dengan menggambar kubus yang dimaksudkan.
2. cacah atau hitung kubus yang sisinya tidak kena cat, hanya 1 sisi yang dicat dan seterusnya.
3. maka peluangnya adalah perbandingan kubus yang diabil memiliki tepet 2 sisi merah dengan semua kubus kecil yang memiliki sisi berwarna merah.
Petunjuk !
1. Ilustrasikan soal dengan menggambar kubus yang dimaksudkan.
2. cacah atau hitung kubus yang sisinya tidak kena cat, hanya 1 sisi yang dicat dan seterusnya.
3. maka peluangnya adalah perbandingan kubus yang diabil memiliki tepet 2 sisi merah dengan semua kubus kecil yang memiliki sisi berwarna merah.
--- Soal No 3 ---
Diberikan trapesium siku-siku seperti pada gambar dibawah ini
Jika $AB=1, BD=\sqrt{7}$ dan $AD=CD$, maka luas trapesium tersebut adalah ... .
A. $\sqrt{3}$
B. $\frac{2}{3}\sqrt{3}$
C. $\frac{3}{2}\sqrt{3}$
D. $2\sqrt{3}$
E. $4 \sqrt{3}$
Kunci : $\frac{3}{2} \sqrt{3}$
Petunjuk !
1. Pahamilah ada banyak cara unutk menemukan luas trapesium, dalam petunjuk ini luas trapesium dicari dengan cara $\frac{(a+b).t}{2}$ dengan a dan b adalah sisi sejajar trapesium dan n adalah tingginya.
2. misalkan sudut CDB adalah a, maka nilai cos a dapat dicari dengan perbandingan sisi samping miring dan cos a juga dapat dicari dengan menerapkan aturan cosinus. melalui langkah ini akan ditemukan 2 persamaan yang mengandung cos a, substitusi persamaan maka akan ditemukan panjang sisi DC dan BC.
3. jika sisi DC dan BC ditemukan, maka luas trapesium bisa dicari.
Petunjuk !
1. Pahamilah ada banyak cara unutk menemukan luas trapesium, dalam petunjuk ini luas trapesium dicari dengan cara $\frac{(a+b).t}{2}$ dengan a dan b adalah sisi sejajar trapesium dan n adalah tingginya.
2. misalkan sudut CDB adalah a, maka nilai cos a dapat dicari dengan perbandingan sisi samping miring dan cos a juga dapat dicari dengan menerapkan aturan cosinus. melalui langkah ini akan ditemukan 2 persamaan yang mengandung cos a, substitusi persamaan maka akan ditemukan panjang sisi DC dan BC.
3. jika sisi DC dan BC ditemukan, maka luas trapesium bisa dicari.
--- Soal No 4 ---
Misalkan $x,y$ bilangan asli sehingga $2x+3y=2020$ maka nilai terbesar yang mungkin dari $3x+2y$ adalah... .
A. 3002
B. 3005
C. 3035
D. 3025
E. 3055
A. 3002
B. 3005
C. 3035
D. 3025
E. 3055
Kunci : D. 3025
Petunjuk !
1. Dalam petunjuk kali ini, nilai paling besar suatu fungsi akan diperoleh jika turunan pertamanya sama dengan nol. sehingga melalui persamaan $2x+3y=2020$ buat menjadi funsgi y dalam x
2. substiusikan nilai y ke persamaan $3x+2y$ sehingga ditemukan sebuah fungsi dalam bentuk x saja.
3. turunkan fungsi tersebut dan samadengankan dengan nol, sehingga nilai x ditemukan. jika nilai x ada, maka nilai y juga ada
Petunjuk !
1. Dalam petunjuk kali ini, nilai paling besar suatu fungsi akan diperoleh jika turunan pertamanya sama dengan nol. sehingga melalui persamaan $2x+3y=2020$ buat menjadi funsgi y dalam x
2. substiusikan nilai y ke persamaan $3x+2y$ sehingga ditemukan sebuah fungsi dalam bentuk x saja.
3. turunkan fungsi tersebut dan samadengankan dengan nol, sehingga nilai x ditemukan. jika nilai x ada, maka nilai y juga ada
--- Soal No 5 ---
Suatu barisan bilangan real $a_1,a_2,a_3,...$ memenuhi $a_1=1, a_2=\frac{3}{5}$, dan $\frac{1}{a_n}=\frac{2}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_{n-2}}$ untuk setiap $n \geq 3$. Bilangan $a_{2020}$ dapat ditulis segabai $\frac{p}{q}$ dengan $p$ dan $q$ bilangan asli relatif prima, maka nilai dari $p+q$ adalah ... .
A. 1348
B. 1248
C. 1428
D. 138
E. 1283
A. 1348
B. 1248
C. 1428
D. 138
E. 1283
Kunci : A.1348
Petunjuk !
1. karena $a_1$ dan $a_2$ nilainya ada pada soal, maka temukan nilai $a_3, a_4, ...$ dengan menggunkan rumus $\frac{1}{a_n}=\frac{2}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_{n-2}}$
2. jika nilai $a_3, a_4, ...$ sudah ada andaikan itu adalah suku-suku pada barisan aritmatika, kemudian temukan rumus unutk suku ke n nya.
3. jika rumus suku ke n sudah ada, maka nilai $a_2020$ juga bisa ditemukan dan soal bisa diselesaikan
Petunjuk !
1. karena $a_1$ dan $a_2$ nilainya ada pada soal, maka temukan nilai $a_3, a_4, ...$ dengan menggunkan rumus $\frac{1}{a_n}=\frac{2}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_{n-2}}$
2. jika nilai $a_3, a_4, ...$ sudah ada andaikan itu adalah suku-suku pada barisan aritmatika, kemudian temukan rumus unutk suku ke n nya.
3. jika rumus suku ke n sudah ada, maka nilai $a_2020$ juga bisa ditemukan dan soal bisa diselesaikan
--- Soal No 6 ---
diketahui S adalah himpunan semua titik $(x,y)$ pada bidang kartesius dengan x dan y adalah bilangan bulat, $0 \leq x \leq 20$ dan $0 \leq y \leq 19$. Banyaknya cara memilih dua titik berbeda di S sehingga titik tengahnya ada di S juga. ... .
catatan : Dua titik $P(a,b)$ dan $Q(c,d)$ berbeda jika $a\neq c $ atau $b \neq d$. pasangan titik $(P,Q)$ dan $(Q,P)$ dianggap sama adalah.
A. 11990
B. 9900
C. 1199
D. 19990
E. 21890
catatan : Dua titik $P(a,b)$ dan $Q(c,d)$ berbeda jika $a\neq c $ atau $b \neq d$. pasangan titik $(P,Q)$ dan $(Q,P)$ dianggap sama adalah.
A. 11990
B. 9900
C. 1199
D. 19990
E. 21890
Kunci : E. 21890
Petunjuk !
1. Misalkan diambil dua titik $P(a,b)$ dan $Q(c,d)$ maka R titik tengah juga harus ada di dalam S maka nilai s diperoleh dengan cara $S\left ( \frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2} \right )$
2. anggota x ada 21 anggota yang terdiri dari 11 bilangan genap dan 11 ganjik, sedangkan y memilini anggota 20, dengan 10 genap dan 10 ganjil.
3. dari syarat pada point 1 dan 2 akan diperoleh 4 kombinasi nilai a,c dan b,d sehingga titik S akan menghasilkan bilangan genap yaitu.
a. a,c genap dan b,d genap = ada 11x10 buah
b. a,c genap dan b,d ganjil = ada 11x10 buah
c. a,c ganjil dan b,d genap = ada 100 buah
d. a,c ganjil dan b,d ganjil= ada 10x10 buah
4. maka banyak cara memilih titik P dan Q adalah mengkombinasilan setia[ kemungkinan pada point 3 yang dipeoler $110C2+110C2+100C2+100C2$
Petunjuk !
1. Misalkan diambil dua titik $P(a,b)$ dan $Q(c,d)$ maka R titik tengah juga harus ada di dalam S maka nilai s diperoleh dengan cara $S\left ( \frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2} \right )$
2. anggota x ada 21 anggota yang terdiri dari 11 bilangan genap dan 11 ganjik, sedangkan y memilini anggota 20, dengan 10 genap dan 10 ganjil.
3. dari syarat pada point 1 dan 2 akan diperoleh 4 kombinasi nilai a,c dan b,d sehingga titik S akan menghasilkan bilangan genap yaitu.
a. a,c genap dan b,d genap = ada 11x10 buah
b. a,c genap dan b,d ganjil = ada 11x10 buah
c. a,c ganjil dan b,d genap = ada 100 buah
d. a,c ganjil dan b,d ganjil= ada 10x10 buah
4. maka banyak cara memilih titik P dan Q adalah mengkombinasilan setia[ kemungkinan pada point 3 yang dipeoler $110C2+110C2+100C2+100C2$
--- Soal No 7 ---
Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi $BC=3, AC=4$ dan $AB=5$. titik P terletak pada AB dan Q terletak pada AC sehingga $AP=AQ$ dan garis $PQ$ membagi segitiga ABC menjadi dua daerah luas yang sama. panjang garis PQ adalah ... .
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Kunci : B. 2
Petunjuk !
1. Ilustrasikan segitiga dengan siku-siku di C. mencari panjang PQ ada banyak cara, pada petunjuk kali ini akan dijelaskan dengan menghubungkan luas dengan nilai trigonometri.
2. dengan menggunakan konsep trigono diperoleh Luas $L.ABC = \frac{1}{2}AC.AB sinACB$ dan $L.APQ =\frac{1}{2}AP.AQ sinCAB$ kemudian diperoleh juga bawha $\frac{L.ABC}{L.APQ}=\frac{2}{1}$ dari langkah ini diperoleh panjang AP dan PQ.
3. jika panjang AP dan PQ ada maka dengan aturan cosinus akan diperoleh panjang x dan dengan memperhatikan kenyataan bahwa $cos CAB=\frac{4}{5}$ karena ABC siku-siku.
4. soal bisa diselesaikan
Petunjuk !
1. Ilustrasikan segitiga dengan siku-siku di C. mencari panjang PQ ada banyak cara, pada petunjuk kali ini akan dijelaskan dengan menghubungkan luas dengan nilai trigonometri.
2. dengan menggunakan konsep trigono diperoleh Luas $L.ABC = \frac{1}{2}AC.AB sinACB$ dan $L.APQ =\frac{1}{2}AP.AQ sinCAB$ kemudian diperoleh juga bawha $\frac{L.ABC}{L.APQ}=\frac{2}{1}$ dari langkah ini diperoleh panjang AP dan PQ.
3. jika panjang AP dan PQ ada maka dengan aturan cosinus akan diperoleh panjang x dan dengan memperhatikan kenyataan bahwa $cos CAB=\frac{4}{5}$ karena ABC siku-siku.
4. soal bisa diselesaikan
--- Soal No 8 ---
Himpunan penyelesaian dari persamaan $\left|x+1 \right|+\left|\frac{19}{x-1} \right|=\frac{20-x^{2}}{1-x}$ adalah interval $(a,b)$ maka nilai dari b-a adalah ... .
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
Kunci : C. 2
Petunjuk !
1. definisikan nilai mutlaknya sehingga akan diperoleh 3 daerah yang harus diuji penyelesaianya yaitu di daerah kurang dari -1, diantara -1 dan 1 dan lebih dari 1. Cek juga daerah penyelesaian bentuk $\frac{20-x^{2}}{1-x}$.
2. dari daerah sesuai definisi akan ditemukan beberapa daerah yang tidak memenuhi karena tidak ada solusi, maka ambil daerah yang memenuhi.
3. jika sudah ada nilai batasnya maka silahkan temukan nilai yang dimaksudkan di soal
Petunjuk !
1. definisikan nilai mutlaknya sehingga akan diperoleh 3 daerah yang harus diuji penyelesaianya yaitu di daerah kurang dari -1, diantara -1 dan 1 dan lebih dari 1. Cek juga daerah penyelesaian bentuk $\frac{20-x^{2}}{1-x}$.
2. dari daerah sesuai definisi akan ditemukan beberapa daerah yang tidak memenuhi karena tidak ada solusi, maka ambil daerah yang memenuhi.
3. jika sudah ada nilai batasnya maka silahkan temukan nilai yang dimaksudkan di soal
--- Soal No 9 ---
Misalkan $n \geq 2$ bilangan asli sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli $a,b$ dengan $a+b=n$ berlaku $a^2+b^2$ merupakan bilangan prima. Hasil penjumlahan semua bilangan asli n semacam itu adalah ... .
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
E. tak terhingga
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
E. tak terhingga
Kunci : A. 10
Petunjuk !
1. ambil dan uji nilai untuk setiap bilangan asli n sehingga akan hanya ada 3 bilangan yang memenuhi yaitu 2,3 dan 5 sehingga jumlahnya adalah 10.
2. untuk bilangan yang lebih dari 5 bilangan itu bisa dinyatakan penjumlahan bilangan ganjik dan genap, dimana hasil kuadratnya pasti memiliki lebih dari 2 faktor. contoh ambil n =6, maka nilai a dan b ambil 2 dan 4 pasti hasik jumlah kuadratnya bukan prima. ambil n =7 maka nilai adan b ambil 3 dan 4 maka hasil kuadratnya pasti memiiki lebih dari 2 faktor.
3. coba butikan sendiri secara matematis pernyataan point 2.
Petunjuk !
1. ambil dan uji nilai untuk setiap bilangan asli n sehingga akan hanya ada 3 bilangan yang memenuhi yaitu 2,3 dan 5 sehingga jumlahnya adalah 10.
2. untuk bilangan yang lebih dari 5 bilangan itu bisa dinyatakan penjumlahan bilangan ganjik dan genap, dimana hasil kuadratnya pasti memiliki lebih dari 2 faktor. contoh ambil n =6, maka nilai a dan b ambil 2 dan 4 pasti hasik jumlah kuadratnya bukan prima. ambil n =7 maka nilai adan b ambil 3 dan 4 maka hasil kuadratnya pasti memiiki lebih dari 2 faktor.
3. coba butikan sendiri secara matematis pernyataan point 2.
--- Soal No 10 ---
Suatu Komite yang terdiri dari beberapa anggota hendak meghadiri 40 rapat. Diketahui bahwa setiap rapat dihadiri tepat 10 anggota komite dan setiap dua anggota menghadiri rapat bersama paling banyak satu kali. Banyak anggota komite terkecil yang mungkin adalah ... .
A. 56
B. 57
C. 59
D. 60
E. 61
A. 56
B. 57
C. 59
D. 60
E. 61
Kunci : E. 61
Petunjuk !
1. karena setiap pasang anggota dari 10 anggota yang ditugaskan hanya menghadiri rapat bersama sekali, maka banyak susunan yang mungkin menyusun mereka adaah 10C2.
2. sehingga karena ada 40 rapat maka diperlukan 40. 10C2 pasangan dua anggota hadir dalam rapat sehingga jika dimisalkan banyak anggota komite minimal adalah n, maka nilai n akan memenuhi
$nC2 > 40.10C2$
3. Selesaikan dan ambil nilai n paling kecil.
Petunjuk !
1. karena setiap pasang anggota dari 10 anggota yang ditugaskan hanya menghadiri rapat bersama sekali, maka banyak susunan yang mungkin menyusun mereka adaah 10C2.
2. sehingga karena ada 40 rapat maka diperlukan 40. 10C2 pasangan dua anggota hadir dalam rapat sehingga jika dimisalkan banyak anggota komite minimal adalah n, maka nilai n akan memenuhi
$nC2 > 40.10C2$
3. Selesaikan dan ambil nilai n paling kecil.
---- Terimkaasih ----
Tidak ada komentar:
Posting Komentar