Kumpulan soal Persiapan Masuk PTN | Persamaan Kuadrat

--- Soal No 1 ---

Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persarnaan kuadrat $x^2 - 3x + 1 = 0$, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_1+\frac{1}{x_1}$ dan $x_2+\frac{1}{x_2}$
A. $x^2+9x-6=0$
B. $x^2-6x-6=0$
C. $x^2-6x+9=0$
D. $x^2+6x+9=0$
E. $x^2-6x-9=0$

Kunci : C. $x^2-6x+9=0$
Petunjuk :
1. ingatlah konsep $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$, kemudian hubungkan nilainya dengan akar-akar persamaan kuadrat yang baru.
2. ingat juga unutk membentuk persamaan kuadrat yang dibutuhkan adalah jumlah dan hasil kali akar-akarnya yaitu dapat diperoleh dengan cara $x^2-(x_1+x_2)x+x_1.x_2=0$ dengan $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kudarat yang baru.

--- Soal No 2 ---

Persamaan kuadrat $x^2 - x + b = 0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Jika $\frac{x_{1}^{3}}{x_1}$ dan $\frac{x_{2}^{3}}{x_1}$ adalah akar - akar persamaan $px^2+qx+b^3=0$, maka nilai q = ...
A. $-2b^2+4b+1$
B. $-2b^2-4b+1$
C. $2b^2+4b-1$
D. $2b^2+4b+1$
E. $2b^2-4b+1$

Kunci :C. $2b^2+4b-1$
Petunjuk :
1. ingatlah konsep $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$, kemudian hubungkan nilainya dengan akar-akar persamaan kuadrat yang baru.
2. ingat juga unutk membentuk persamaan kuadrat yang dibutuhkan adalah jumlah dan hasil kali akar-akarnya yaitu dapat diperoleh dengan cara $x^2-(x_1+x_2)x+x_1.x_2=0$ dengan $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kudarat yang baru.
3. bentuklah persamaan kuadrat barunya, dan hubungkan nilai q yang sesuai dengan kesamaan persamaan kuadrat.

--- Soal No 3 ---

Syarat agar akar-akar persamaan kuadrat $(p-2)x^2+2px+p-1=0$ negatif dan berlainan adalah .. .
A. $p > 2$
B. $p < 2$ atau $p > \frac{2}{3}$
C. $0 < p < \frac{2}{3}$
D. $\frac{2}{3} < p < 1$
E. $\frac{2}{3} < p < 2$

Kunci :A. $p > 2$
Petunjuk :
1. agar memnugi syarat haruslah terpenuhi syrat berikut, yaitu $D>0$, $x_1+x_2< 0$ dan $x_1.x_2>0$
2.temukan dan iriskan ketiga syarat diatas untuk menemukan nilai p yang memenuhi.

--- Soal No 4 ---

Persamaan kuadrat $4x^2 + p =-1$ mempunyai akar $x_1$ dan $x_2$. Jika $x_1 = \frac{1}{2}$, maka nilai dari $p(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})$ ...
A. $-1\frac{1}{2}$
B. $-1\frac{1}{4}$
C. $-1$
D. $-\frac{1}{2}$
E. $-\frac{1}{4}$

Kunci :C. $-1$
Petunjuk :
1. ingatlah konsep $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$.
2. ingat juga bentuk aljabar $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

--- Soal No 5 ---

Persamaan kuadrat $x^2 + (a - 2)x - 3a+ 8 = 0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$ maka nilai dari $(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})$ tercapai untuk a sama dengan ... .
A. $-2$
B. $-1$
C. $0$
D. $1$
E. $2$

Kunci :B. $-1$
Petunjuk :
1. ingatlah konsep $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$.
2. ingat juga bentuk aljabar $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
3. hubungan point 1 dan 2 dan selesaikan dengan persamaan aljabar biasa.

--- Soal No 6 ---

Persamaan kuadrat $x^2 + px +q = 0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$ dengan $x_1-x_2=-1$. Jika $x_1+1$ dan $x_2$ juga akar-akar persamaan kuadrat $x^2+(p-1)x+q+2=0$ maka nilai dari $p +q$ ... .
A. $-5$
B. $-2$
C. $-1$
D. $1$
E. $6$

Kunci :C. $-1$
Petunjuk :
1. ingatlah konsep $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$
2. dengan konsep pada point 1 akan ditemukan persamaan yang memuat variabel-vaeiabel yang dicari. selesaikan variabel tersebut denhan konseo persamaan linier biasa.
3. maka nilai p + q akan ditemukan

--- Soal No 7 ---

Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan $x^2+ax+b=0$ serta $\alpha^2.\beta + \alpha.\beta^2=6$ dan $\alpha^{-1}+\beta^{-1}=\frac{3}{2}$ maka nilai dari $\alpha^2-\beta^2$ ... .
A. $-7$
B. $-5$
C. $0$
D. $5$
E. $7$

Kunci : D. $5$
Petunjuk :
1. ingatlah konsep $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$
2. faktorkan bentuk $\alpha^2.\beta + \alpha.\beta^2=6$ sehingga dari faktornya akan ditemukan nilai $\alpha.\beta$.
3. dari persamaan $\alpha^{-1}+\beta^{-1}=\frac{3}{2}$ ditemukan hubungan nilai $\alpha$ dan $\beta$, dan jika disubstitusi ke persamaan pada point 2 maka akan ditemykan nilai dari $\alpha$ dan $\beta$
4. selesaikan.

--- Soal No 8 ---

Persamaan kuadrat $x^2-ax+1=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Jika persamaan kuadrat $x^2 + px + q = 0$ mempunyai akar $\frac{(x_{1}^{3}}{x_2}$ dan $\frac{(x_{2}^{3}}{x_1}$ maka nilai p adalah ... .
A. $-a^4+4a^2-2$
B. $-a^4-4a^2-2$
C. $a^4-4a^2-2$
D. $a^4+4a^2-2$
E. $a^4+4a^2+2$

Kunci : A. $-a^4+4a^2-2$
Petunjuk :
1. ingatlah konsep $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$
2. perhatikan akar-akar persamaan kuadrat $x^2 + px + q = 0$ akan diperoleh bentuk pangkat 4 dan pangkat 3. sehingga ingatlah bentuk aljabr berikut
a. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
b. $(a+b)^4=(a+b)^2-2.(a.b)^2$
3. temukan semua hubungan a dan p sesuai dengan sifat" tersebut.

--- Soal No 9 ---

Jumlah akar persamaan $|x|^2-2|x|-3=0$ adalah ... ,
A. $-10$
B. $-3$
C. $-1$
D. $0$
E. $4$

Kunci :D. $0$
Petunjuk :
1. Misalkan nilai $|x|=a|$ sehingga akan diperoleh persamaan kuadrat dalam bentuk a, temukan akar-akarnya.
2. kembalikan nilai a sesuai apa yang dimisalkan, dan selesaikan dengan konsep persamaan mutlak yaitu:
jika $|x|=a|$ maka $x=a$ dan $x=-a$

--- Soal No 10 ---

Jumlah nilai-nilai $m$ yang mengakibatkan persamaan kuadrat $mx^2 - (3m + l)x + (2m + 2) = 0$ mempunyai akar-akar dengan perbandingan $3 : 4$ adalah ... .
A. $\frac{7}{6}$
B. $\frac{13}{5}$
C. $\frac{11}{3}$
D. $\frac{3}{2}$
E. $\frac{5}{6}$

Kunci : B. $\frac{13}{5}$
Petunjuk :
1. ingatlah konsep $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$, sehingga akan ditemukan 2 persamaan yang memuat nilai $x_1, x_2$ dan $m$
2. kemudian persamaan ketiga diperoleh dari perbandingan akar-akarnya.
3. dengan konsep eliminasi dan substitusi temukan nilai m yang dimaksudkan.

--- Soal No 11 ---

Jika $a^2$ dan $b$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^2-(b^2-2)x+b=0$, himpunan nilai $a +b$ adalah
A. ${-3,0,1,2}$
B. ${-2,0,1,3}$
C. ${-1,0,2,3}$
D. ${0,1,2,3}$
E. ${-2,-1,0,3}$

Kunci :B. ${-2,0,1,3}$
Petunjuk :
1. ingatlah konsep $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$, sehingga akan ditemukan 2 persamaan yang memuat nilai a dan b
2. dengan konsep eliminasi dan substitusi temukan nilai a dan b yang dimaksudkan.

--- Soal No 12 ---

Jika $1+\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}=0$, maka nilai dari $\frac{3}{x}$ adalah ... .
A. $-1$
B. $1$
C. $2$
D. $-1$ atau $2$
E. $-1$ atau $-2$

Kunci :A. $-1$
Petunjuk :
1. temukan persamaan kuadratnya dengan mengalikan $x^2$, kemudian temukan nilai x yang memenuhi persamaan yang dimaksudkan.
2. atau bisa juga difaktorkan secara langsung.

--- Soal No 13 ---

Jika kedua akar persamaan $\frac{x^2-bx}{ax-c}=\frac{m-1}{m+1}$ berlawanan tanda, tetapi mempunyai nilai mutlak yang sama, maka nilai m adalah ... .
A. $\frac{a+b}{a-b}$
B. $c$
C. $\frac{a-b}{a+b}$
D. $\frac{1}{c}$
E. $1$

Kunci :C. $\frac{a-b}{a+b}$
Petunjuk :
1. akarnya berlawanan tanda, namun nilai mutlaknya sama. Hal ini berakibat jumlah akar-akarnya adalah 0.
2. selesaikan bentuk persamaan pada soal sehingga ditemukan bentuk persamaan kuadrat yang baru.
3. temukan persamaan kuadratnya dengan mengalikan $x^2$, kemudian temukan nilai x yang memenuhi persamaan yang dimaksudkan.

--- Soal No 14 ---

Jika $1+\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}=0$ maka nilai dari $\frac{2}{x^2}$ adalah ... .
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $2$
D. $\frac{1}{4}$
E. $4$

Kunci :B. $\frac{1}{2}$
Petunjuk :
1. temukan persamaan kuadratnya dengan mengalikan $x^2$, kemudian temukan nilai x yang memenuhi persamaan yang dimaksudkan.
2. atau bisa juga difaktorkan secara langsung.

--- Soal No 15 ---

Persamaan $x^2+(1-a)x-a=0$ mempunyai akar-akar $x_1 >1$ dan $x_2 < 1$ untuk ... .
A. $a < -1$
B. $a > 1$
C. $a<1$
D. $a\neq 1$
E. $-1 < a < 1$

Kunci : B. $a > 1$
Petunjuk :
1. faktorkan bentuk persamaan $x^2+(1-a)x-a=0$, maka akan ditemukan dua akar dalam bentuk variabel a dan bilangan.
2. hubungkan akar yang ditemukan dengan syarat pada soal yaitu x_1 >1$dan$x_2 < 1$, sehingga batas nilai a dapat ditemukan.

--- Soal No 16 ---

Persamaan kuadrat yang mempunyai akar a dan b sehingga $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{7}{10}$ adalah ....
A. $x^2-10x+7=0$
B. $x^2+7x+10=0$
C. $x^2+7x-10=0$
D. $x^2-7x+10=0$
E. $x^2-7x-10=0$

Kunci :D. $x^2-7x+10=0$
Petunjuk :
1. ingat persamaan kudarat baru yang memiliki akar-akar $x_!$ dan $x_2$ adalah $x^2-(x_1+x_2)x+x_1.x_2$
2. temukan nilai $a+b$ dan $a.b$ dengan menyamakan penyebutnya.

--- Soal No 17 ---

Diketahui $a$ dan $b$ dua bilangan bulat positif yang memenuhi $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{13}{36}$. Nilai dari $ab(a+b)$ adalah ... .
A. $468$
B. $448$
C. $368$
D. $49$
E. $36$

Kunci :A. $468$
Petunjuk :
1. samakan penyebut bentuk yang diketahui pada soal. maka akan ditemukan nilai a+b dan a.b

--- Soal No 18 ---

Jika 2 adalah satu-satunya akar persamaan kuadrat $\frac{1}{4}x^2+bx+a=0$ maka nilai $a+b$ yang memenuhi adalah ... .
A. $32$
B. $2$
C. $0$
D. $-2$
E. $-32$

Kunci :C. $0$
Petunjuk :
1. ingatlah konsep $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$, sehingga akan ditemukan 2 persamaan
2. perhatikan syarat pada soal, dimana satu-satunya akar adalah 2, sehingga persamaan memiliki akar kembar.
3. selesaikan persaman pada point 1 dan 2.

--- Soal No 19 ---

Jik $p+1$ dan $p-1$ adalah akar-akar persamaan $x^2-4x+a=0$ maka nilai a adalah ... .
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
E. $4$

Kunci :D. $3$
Petunjuk :
1. ingatlah konsep $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$,
2. karena $p+1$ dan $p-1$, maka jumlah akar-akarnya dapat ditemukan dengan menyesuaikan dengan bentuk persamaan kuadratnya, maka nilai p akan mudah ditemukan.
3. unutk menemukan nilai a, maka gunakan perkalian sudut.

--- Soal No 20 ---

Persamaan kuadrat $x^2-2x+(c-4)=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$. jika $x_1 > -1$ dan $x_2 > -1$ maka nilai c yang memenuhi adalah
A. $c < 1$ atau $c\geq 5$
B. $1 < c \leq 5$
C. $-1 \leq c \leq 5$
D. $c> 1$
E. $c \leq 5$

Kunci :B. $1 < c \leq 5$
Petunjuk :
1. ingatlah konsep $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$,
2. karena diketahui $x_1 > -1$ dan $x_2 > -1$ maka akan berlaku pula $x_1 +1 > 0$ dan $x_2+1 > 0$, kalikan syrat kedua akar tersebut kemudian akan diperoleh batas nilai c yang pertama.
3. karena persamaan memiliki 2 akar, haruslah memenuhi syarat $D \geq 0$
4. iriskan batas nilai c pada point 2 dan 3

--- Soal No 21 ---

Jika selisih akar-akar persamaan $x^2+2cx+(19+c)=0$ adalah 2, maka nilai dari $30+c-c^2$ adalah ... .
A. $-20$
B. $-10$
C. $0$
D. $10$
E. $20$

Kunci :D. $10$
Petunjuk :
1.untuk menemukan selisih akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan cara $\frac{\sqrt{D}}{a}$
2. temukan nilai c yang memenuhi atau yang memiliki hubungan dengan apa yang diketahui pada soal.

--- Soal No 22 ---

Jika $p$ dan $q$ merupakan akar-akar persamaan $x^2-(a-1)x+\left ( -a-\frac{5}{2}\right )=0$ maka nilai minimum dari $p^2+q^2$ ... .
A. $\frac{5}{2}$
B. $2$
C. $1$
D. $\frac{1}{2}$
E. $0$

Kunci :B. $2$
Petunjuk :
1. ingatlah konsep $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$,
2. karena yang diminta meminimalkan bentuk $p^2+q^2$, jabarkan dulu nilainya agar berhubungan dengan point 1. sehingga melalui ini akan diperoleh bentuk kuadrat dalam variabel a, sehingga nilai minimum $p^2+q^2$ sama dengan menemukan nilai minimum bentuk kuadrat tersebut.
3. nilai minimum dari persamaan kuadrat diperoleh dengan cara $-\frac{D}{4a}$

--- Soal No 23 ---

Persamaan kuadrat $2x^2-px+1=0$ dengan $p>0$, mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$. Jika $x^2=5x+q=0$ mempunyai akar-akar $\frac{1}{\alpha^2}$ dan $\frac{1}{\beta^2}$ maka nilai $q-p$ adalah ... .
A. $-2$
B. $-\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $1$
E. $2$

Kunci :D. $1$
Petunjuk :
1. ingatlah konsep $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$,
2. temukan nilai $\alpha + \beta$ dan $\alpha . \beta$ pada soal dengan konsep pada point 1 masing-masing untuk persamaan kudarat pada soal.
3. hubungkan nilainya dan temukan nilai p dan q yang dimaksudkan pada soal.

--- Soal No 24 ---

Jika akar-akar persamaan $x^2-ax-b=0$ saling berkebalikan dan salah satu akar tersebut merupakan bilangan bulat positif, maka nilai terkecil yang mungkin untuk $a - b$ adalah ....
A. $3$
B. $-1$
C. $1$
D. $2$
E. $3$

Kunci :E. $3$
Petunjuk :
1. hal pertama yang diperoleh adalah nilai b yang diperoleh dari pernyataan akarnya berkebalikan, sehingga hasil kali akar sama dengan 1.
2. karena nilai b telah diketahui, maka nilai $x_1+x_2$ juga diperoleh sama dengan a.
3. karena salah satu akarnya bilangan bulat positif maka misalkan $x_1=1,2,3, ...$ dan $x_2$ adalah kebalikanya. temukan semua kemungkinan nilai a dan a -b yang memungkinkan sesuai kondisi tersebut.
4. akan ditemukan nilai a - b yang tak hingga, namun karen yang diminta yang terkecil maka ambillah nilai yang paling kecil.

--- Soal No 25 ---

Misalkan m dan n adalah bilangan bulat dan merupakan akar-akar persamaan $x^2 + ax - 30 = 0$, maka nilai a agar m + n maksimum adalah ...
A. $30$
B. $29$
C. $13$
D. $-29$
E. $-31$

Kunci : D. $-29$
Petunjuk :
1. ingatlah konsep $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$,
2. dari point 1 akan ditemukan hubungan nilai m dan n yaitu jumlahnya adalah a dah hasil kalinya adalah -30
3. temukan semua kemunginannya dan pilih nilai a yang terbesar.

--- Soal No 26 ---

Diketahui $7-\sqrt{7}$ adalah salah satu akar persamaan $x^2+ax+b=0$ dengan $b$ bilangan real negatif dan $a$ suatu bilangan bulat. Nilai terkecil $a$ adalah ...
A. $-5$
B. $-4$
C. $0$
D. $4$
E. $5$

Kunci :B. $-4$
Petunjuk :
1. perhatikan salah satu akarnya adalah $7-\sqrt{7}$ yang merupakan nilainya positif. karena di dalam soal nilai $b$ adalah negatif yang mana b adalah hasil kali akar persamaan kuadrat maka hal ini mengharuskan akar yang lain bernilai negatif.
2. temukanlah persamaan kuadrat yang mungkin muncul dari perkalian akar-akarnya yaitu $(x-x_1)(x-x_2)$ ingat jika $x_1$ positif, maka $x_2$ negatif.
3. gunakan kesamaan koefisien dua persamaan kuadrat unutk menemukan nilai a yang dimaksudkan.