Rumus-Rumus Turunan Fungsi Ajlabar dan trigonometri

Definisi Turunan

Jika diketahui suatu fungsu $f(x)$ maka turunan suatu fungsi disimboldengan $f'(x)$, dimana nilainya dapat ditentukan dengan menerapkan konsep limit yaiut. $f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(X)}{h}$

Rumus-rumus Turunan fungsi aljabar dan Trigonometri

Misalkan $u$ dan $v$ adalah fungsi dan $a$ adalah sebuah konstanta maka akan berlaku. 1. Jika $f(x)=a$ maka $f'(x)=0$ 2. Jika $f(x)=ax$ maka $f'(x)=a$ 3. Jika $f(x)=ax^{n}$ maka $f'(x)=a.nx^{(n-1)}$ 4. Jika $f(x)=a.u$ maka $f'(x)=a.u'$ 5. Jika $f(x)=a.u^{n}$ maka $f'(x)=a.nu^{(n-1)}.u'$      $($ Aturan Rantai $)$ 6. Jika $f(x)=u\pm v$ maka $f'(x)=u'\pm u'$ 7. Jika $f(x)=u\pm v$ maka $f'(x)=u'\pm u'$ 8. Jika $f(x)=u.v$ maka $f'(x)=u'v+v'u$ 9. Jika $f(x)=\frac{u}{v}$ maka $f'(X)=\frac{u'v-v'u}{v^{2}}$ 10. Jika $f(x)=sin(u)$ maka $f'(x)=u'.cos(u)$ 11. Jika $f(x)=cos(u)$ maka $f'(x)=u'.(-sin(u))$ 12. Jika $f(x)=tan(u)$ maka $f'(x)=u'.(sec^{2}(u)$ 13. Jika $f(x)=cot(u)$ maka $f'(x)=u'.(-coses^{2}(u)$ 14. Jika $f(x)=sec(u)$ maka $f'(x)=u'.(sec(u).tan(u))$ 15. Jika $f(x)=cosec(u)$ maka $f'(x)=u'.(-coesc(u).cot(u))$ 16. Jika $f(X)=ln(u)$ maka $f'(x)=\frac{u'}{u}$ 17. Jika $f(x)=^{a}log(u)$ maka $f'(x)=\frac{u'}{u.ln(a)}$ 18. Jika $f(x)=e^{u}$ maka $f'{x}=u'.e^{u}$ 19. Jika $f(x)=a^f(x)$ maka $f'(x)=a^{f(x)}.ln(a).f'(x)$

Aplikasi turunan fungsi

1. Gradien garis singgung suatu kurva $f(x)$ di titik $(x_1,y_1)$ adalah turunan pertama fungsinya atau dapat disimbolkan $m=f'(x_1)$ 2. Fungsi naik, turun Fungsi $f(x)$ dikatakan naik apabila $f'(x)> 0$ Fungsi $f(x)$ dikatakan turun apabila $f'(x)< 0$ 3. Titik Stasioner Fungsi $f(x)$ dikatakan stasioner atau mencapai makximum/minimum saat $f'(x) = 0$ dan titik $(x_1,f(x_1))$ merupakan titik maksimum atau minimum relatifnya. Fungsi $f(x)$ akan memiliki titik balik maksimum di titik $(x_1,f(x_1))$ apabila $f'(x) = 0$ dan $f"(x_1)>0$. Fungsi $f(x)$ akan memiliki titik balik maksimum di titik $(x_1,f(x_1))$ apabila $f'(x) = 0$ dan $f"(x_1)<0$. dan Jika $f"(x)=0$ maka titik $(x_1,f(x_1))$ disebut titik belok $($ dengan $x_1$ adalah penyelesaian dari $f'(x) = 0$ $)$ 4. Hubungan posisi $(s)$, Kecepatan $(v)$ dan Percepatan $(a) Sebelum mempelajari lebih jauh kita harus paham tentang konsepnya dimana posisi itu menyatakan letak dari suatu objek yang umumnya dapat dinyatakan dalam sebuah fungsi tertentu, Kecepatan adalah perbandingan antara jarak dan waktu sedangkan , Percepatan adalah perubahan kecepatan dalam selang waktu tertentu hubungan antara $s,v,a$ adalah $a = v'$, $v=s'$ atau $a=s"$ untuk lebih jelasnya silahkan perhatikan contoh soal

Pembuktian rumus-rumus urunan

Pembuktian rumus definisi turunan ................. Lihat Penjelasan Pembuktian rumus perkalian turunan ................ Lihat Penjelasan Pembuktian rumus turunan bentuk $ax^n$ ............ Lihat Penjelasan

Untuk lebih memahamhi lebih lanjut tentang konsep Turunan fungsi, berikut diberikan beberapa permasalahan yang dapat diselesaikan dengan konsep tersebut. 

--- Contoh Soal No 1 ---

Tentukan persamaan garis singgung kurva $y=x^{2}+3x-4$ pada titik $(1,0)$ ... .

Gunakan konsep bahwa turunan pertama suatu fungsi adalah nilai gradien garis singgungnya. maka
turunan pertama fungsi adalah $f'(x)$ = $2x + 3$
maka gradienyanya adalah $f'(1)=2.2+5=9$
maka persamaan garis singgungnya dapat dicari dengan rumus persamaan garis dengan gradien dan titik singgung diketahu yaitu:
$y-y_{1}=m(x-x_{1})$
$y-0=9(x-1)$
$y=9x+9$

--- Contoh Soal No 2 ---

Tentukan kecepatan dan percepatan benda saat t = 2 sekon, jika diketahui $s(x)=x^2+6x-7

Gunakan konsep bahwa turunan pertama suatu fungsi jarak $s(x)$ adalah kecepatan dan turunan keduanya adalah percepatan. maka

• Kecepatan $(v(x))$ = $s'(x)$ = $2x + 6$
  maka kecepatanya saat t=2 sekon adalah:
  $f'(2)=2.(2)+6$
  $f'(2)=10$
  

• percepatan = $v'(x)$ = $2$
  turunan keduanya hanya konstanta, sehingga saat t = 2 sekon percepatan benda adalah konstan.