Pada pembelajaran sebelumnya kita telah mempelajari mengenai konsep turunan fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri, dimana fungsi yang sebelumnya kita cari turunanya merupakan fungsi biasa atau bukan merupakan fungsi komposisi. Nah apabila kita diminta menemukan turunan dari suatu komposisi fungsi maka kita perlu menggunakan konsep turunan dengan aturan rantai yang secara sederhana dapat kita artikan sebagai turunan bertingkat mulai dari fungsi terluar hingga fungsi paling dalam. Pada intinya jika ada sebuah fungsi komposisi maka kita perlu menerapkan konsep aturan rantai untuk menemukan turunanya, berikut adalah konsep dasarnya.
Secara sederhana jika kita diminta menemukan turunan dari fungsi $f(x)= g(h(x))$ maka kita turunkan dulu fungsi $g(h(x))$, kemudian kalikan dengan turunan fungsi di dalamnya atau fungai $h(x)$. Aturan rantai ini tidak hanya perlu diturunkan 2 dua kali saja namun bisa lebih tergantung dari berapa banyak komposisi fungsinya atau berapa banyak tingkatnya pada soal yang diberikan.
Untuk lebih memahami materi diatas silahkan perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal
--- Soal No 1 ---
Jika diketahui suatu fungsi $f(x)=(2x-1)^4$, maka coba temukan turunan fungsi $f(x)$... .
Jika diperhatikan fungsi diatas dibentuk oleh dua buah fungsi yaitu $g(x)=(2x-1)^4$ yang merupakan fungsi luarnya dan $h(x)=2x-1$ adalah fungsi dalamnya maka temukan temukan dulu turunan fungsi luarnya dengan memisalkan $2x-1=u$, maka
$\begin{align*} f(x)&= (2x-1)^4\\ f(u)&= u^4\\ f'(u)&= 4.u^3\\ \end{align*}$
kemudian temukan turnan dalamnya yaitu $h(x)=2x-1$ yaitu
$\begin{align*} h(x)&= 2x-1\\ h'(x) &= 2\\ \end{align*}$
maka turunan dari fungsi $f(x)$ diperoleh dengan cara mengalikan turunan fungsi luar dan turunan fungsi dalamnya yaitu
$\begin{align*} f'(x)&= 4.u^3.2\\ &= 4(2x-1)^3.2\\ &= 8(2x-1)^3\\ \end{align*}$
$\begin{align*} f(x)&= (2x-1)^4\\ f(u)&= u^4\\ f'(u)&= 4.u^3\\ \end{align*}$
kemudian temukan turnan dalamnya yaitu $h(x)=2x-1$ yaitu
$\begin{align*} h(x)&= 2x-1\\ h'(x) &= 2\\ \end{align*}$
maka turunan dari fungsi $f(x)$ diperoleh dengan cara mengalikan turunan fungsi luar dan turunan fungsi dalamnya yaitu
$\begin{align*} f'(x)&= 4.u^3.2\\ &= 4(2x-1)^3.2\\ &= 8(2x-1)^3\\ \end{align*}$
--- Soal No 2 ---
Jika diketahui suatu fungsi $f(x)=\frac{2}{2x-1}$, maka coba temukan turunan fungsi $f(x)$... .
fungsi $f(x)$ diatas dapat diubah bentuk sesuai konsep bilangan berpangkat dimana $f(x)=\frac{2}{2x-1}=2(2x-1)^{-1}$, kemudian kita terapkan konsep aturan rantai dengan melihat fungsi luar dan fungsi dalamnya, kemudian turunan fungsi luar dan dalamnya tinggal dikalikan saja. Sehingga akan diperoleh.
$\begin{align*} f(x)&= 2(2x-1)^{-1} \\ f'(u)&= 2.(-1)(2x-1)^{-1-1}.2\\ &= -4(2x-1)^{-2}\\ &= \frac{-4}{(2x-1)^{-2}}\\ \end{align*}$
$\begin{align*} f(x)&= 2(2x-1)^{-1} \\ f'(u)&= 2.(-1)(2x-1)^{-1-1}.2\\ &= -4(2x-1)^{-2}\\ &= \frac{-4}{(2x-1)^{-2}}\\ \end{align*}$
--- Soal No 3 ---
Jika diketahui suatu fungsi $f(x)=\sqrt{2x^2-3x-1}$, maka coba temukan turunan fungsi $f(x)$... .
fungsi $f(x)$ diatas dapat diubah bentuk sesuai konsep bilangan berpangkat dimana $f(x)=(2x^2-3x-1)^{\frac{1}{2}}$, kemudian kita terapkan konsep aturan rantai dengan melihat fungsi luar dan fungsi dalamnya, kemudian turunan fungsi luar dan dalamnya tinggal dikalikan saja. Sehingga akan diperoleh.
$\begin{align*} f(x)&= (2x^2-3x-1)^{\frac{1}{2}} \\ f'(u)&= \frac{1}{2} (2x^2-3x-1)^{\frac{1}{2}-1}.(2.2x-3) \\ &= \frac{(4x-3)}{2} (2x^2-3x-1)^{\frac{1}{2}-\frac{2}{2}}. \\ &= \frac{(4x-3)}{2} (2x^2-3x-1)^{-\frac{1}{2}} \\ &= \frac{(4x-3)}{2} .\frac{1}{(2x^2-3x-1)^{\frac{1}{2}}} \\ &= \frac{(4x-3)}{2.(2x^2-3x-1)^{\frac{1}{2}}} \\ &= \frac{(4x-3)}{2.\sqrt{(2x^2-3x-1)}} \\ \end{align*}$
$\begin{align*} f(x)&= (2x^2-3x-1)^{\frac{1}{2}} \\ f'(u)&= \frac{1}{2} (2x^2-3x-1)^{\frac{1}{2}-1}.(2.2x-3) \\ &= \frac{(4x-3)}{2} (2x^2-3x-1)^{\frac{1}{2}-\frac{2}{2}}. \\ &= \frac{(4x-3)}{2} (2x^2-3x-1)^{-\frac{1}{2}} \\ &= \frac{(4x-3)}{2} .\frac{1}{(2x^2-3x-1)^{\frac{1}{2}}} \\ &= \frac{(4x-3)}{2.(2x^2-3x-1)^{\frac{1}{2}}} \\ &= \frac{(4x-3)}{2.\sqrt{(2x^2-3x-1)}} \\ \end{align*}$
--- Soal No 4 ---
Jika diketahui suatu fungsi $f(x)=5x(3x-7)^5$, maka coba temukan turunan fungsi $f(x)$... .
untuk menemukan turunan fungsi $f(x)$ maka kita terapkan sifat turunan perkalian, dimana kita misalkan $u=5x$, maka $u'=5$ dan $v=(3x-7)^5$ dengan
$\begin{align*} v'&= 5(3x-7)^{5-1}.(3) \\ &= 5.3(3x-7)^{4} \\ &= 15(3x-7)^{4} \\ \end{align*}$
Sehingga sesuai dengan sifat turunan fungsi akan diperoleh.
$\begin{align*} f(x)&=u.v \\ f'(x) &= u'v+v'u \\ &= 5.(3x-7)^5+15(3x-7)^{4}.5x \\ &= 5.(3x-7)^5+75x(3x-7)^{4} \\ &= (3x-7)^4(5.(3x-7)+75x) \\ &= (3x-7)^4(15x-35+75x) \\ &= (3x-7)^4(-35+90x) \\ \end{align*}$
$\begin{align*} v'&= 5(3x-7)^{5-1}.(3) \\ &= 5.3(3x-7)^{4} \\ &= 15(3x-7)^{4} \\ \end{align*}$
Sehingga sesuai dengan sifat turunan fungsi akan diperoleh.
$\begin{align*} f(x)&=u.v \\ f'(x) &= u'v+v'u \\ &= 5.(3x-7)^5+15(3x-7)^{4}.5x \\ &= 5.(3x-7)^5+75x(3x-7)^{4} \\ &= (3x-7)^4(5.(3x-7)+75x) \\ &= (3x-7)^4(15x-35+75x) \\ &= (3x-7)^4(-35+90x) \\ \end{align*}$
--- Soal No 5 ---
Sebuah kubus memiliki panjang sisi $(3x-7)$, maka jika volume kubus tersebut adalah $f(x)$, maka nilai dari $f'(0)$ adalah... .
Untuk menyelesaikan soal seperti ini kita temukan lebih dulu fungsi $f(x)$ yang merupakan volume dari kubus yaitu $f(x)=s^3=(3x-7)^3$, maka turunan fungsi $f(x)$ dapat ditemukan dengan cara seperti berikut.
$\begin{align*} f(x)&= (3x-7)^3 \\ f'(x) &= 3(3x-7)^2.(3) \\ f'(x)&= 9(3x-7)^2 \\ f'(0)&= 9(3.0-7)^2 \\ &= 9.49 \\ &= 441 \\ \end{align*}$
$\begin{align*} f(x)&= (3x-7)^3 \\ f'(x) &= 3(3x-7)^2.(3) \\ f'(x)&= 9(3x-7)^2 \\ f'(0)&= 9(3.0-7)^2 \\ &= 9.49 \\ &= 441 \\ \end{align*}$
Untuk lebih memahami materi tentang turunan fungsi aljabar, maka silahkan coba latihan soal berikut ini.
LATIHAN SOAL
| 1 | Temukanlah turunan fungsi aljabar berikut ini ...
a. $f(x)=(5x^2-7x-1)$ b. $f(x)=\frac{5}{2x-3}$ c. $f(x)=\frac{2x}{x^2-2x}$ d. $f(x)=\sqrt{2x-7}$ e. $f(x)=\sqrt{\frac{5}{x-2}}$ |
Tidak ada komentar:
Posting Komentar