Processing math: 100%MathJax/extensions/TeX/AMSmath.js

Trigonometry


Trigonometri merupakan salah satu bahasan matematika yang membahas mengenai perbandingan sisi - sisi dari segitiga, perbandingan tersebut pada dasarnya ada 3 yaitu sin, cos dan tan. Namun dari ketiga bentuk tersebut dapat diturunkan bentuk trigonometri lainnya, berikut beberapa identitas dari trigonometri yang sangat sering digunakan dalam menyelesaian masalah matematika. 


Keterangan
Bentuk rumus
Bentuk dasar 
sin^{2}x+cosy^{2}x=1
Komplemen dan Suplemen sudut
Untuk sumplem sudut \pm 90^{\circ} atau  \pm 270^{\circ} maka ubah nilai trigonometri menjadi kawanya, misal ;
sin(90^{\circ}\pm x)=cosx
cos(270^{\circ}\pm x)=sinx

Untuk komplem sudut \pm 180^{\circ} atau  \pm 360^{\circ} maka nilai trigonometri tetap, misal ;
sin(180^{\circ}\pm x)=sinx
cos(360^{\circ}\pm x)=cosx

Grafik fungsi trigonometri
y = a sin b (x+c) + d
  • a = merupakan amplitudo (nilai max dan min Fungsi ) Jika nilai a positif   maka fungsi tetap, sedangkan jika negatif maka fungsi dibalik
  • b = menyatakan nilai periode gungsi (\frac{\pi}{b})
  • c = merupakan jauhnya pergeseran fungsi, jika c negatif geser ke kanan, dan jika c positif maka geser ke kir
  • d = menyatakan perubahan sumbu fungsi, jika d positif maka sumbu fungsi naik dan jika negatif maka sumbu fungsi turun sebesar d

Jumlah dan selisih sudut

sin(a+b)=sina cosb+cosa sinb
sin(a-b)=sina cosb-cosa sinb
cos(a+b)=cosa cosb-sina sinb
cos(a-b)=cosa cosb+sina sinb
tan(a+b)=\frac{tana+tanb}{1-tanatanb}
tan(a-b)=\frac{tana-tanb}{1+tanatanb}

2sin\frac{1}{2}(a+b)cos\frac{1}{2}(a-b)=sina+sinb
2cos\frac{1}{2}(a+b)sin\frac{1}{2}(a-b)=sina-sinb
2cos\frac{1}{2}(a+b)cos\frac{1}{2}(a-b)=cosa+cosb
-2sin\frac{1}{2}(a+b)sin\frac{1}{2}(a-b)=cosa-cosb

Sudut rangkap
sin2a=2sinacosa
cos2a=cos^{2}a-sin^{2}a
               =1-2sin^{2}a
               =2cos^{2}a-1
tan2a=\frac{2tana}{1-tan^{2}a}

Perkalian sudut
 sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb
sin(a+b)+sin(a-b)=2cosasinb
cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb
cos(a+b)-cos(a-b)=-2sinasinb

Sudut pertengahan
tan\frac{1}{2}a=\pm \sqrt{\frac{1-cosa}{1+cosa}}
tan\frac{1}{2}a=\frac{sina}{a+cosa}
tan\frac{1}{2}a=\frac{1-cosa}{sina}
sin\frac{1}{2}a=\pm \sqrt{\frac{1-cosa}{2}}
cos\frac{1}{2}a=\pm \sqrt{\frac{1+cosa}{2}}

Aturan sinus dan kosinus.
Aturan Sinus
\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}

Aturan cosinus
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccosA
b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accosB
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcosC

Persamaan trigonometri

Bentuk dasar
sinx=sina maka Himpunan penyelesaiannya adalah 
  • x=a+2k\pi
  • x=(180-a)+2k\pi
cosx=cosa maka Himpunan penyelesaiannya adalah
  • x=a+2k\pi
  • x=-a+2k\pi
tanx=tana maka Himpunan penyelesaiannya adalah
  • x=a+k\pi

Bentuk acosx+bsinx=c maka Himpunan penyelesaiannya adalah
m cos(x-p)=c
dengan 
m=\sqrt{a^{2}+b^{2}}, dan
tan\frac{b}{a}=p

Lingkaran dalam  segitiga

Jika diketahui lingkaran dan sgitiga yang memiliki kedudukan seperti pada gambar, akan berkalu


r=\frac{Luas \Delta }{s}

dengan s adalah setengah keliling segitiga
Lingkaran luar segitiga

Jika diketahui lingkaran dan sgitiga yang memiliki kedudukan seperti pada gambar, akan berkalu


r=\frac{a.b.c}{4.Luas \Delta }

dengan s adalah setengah keliling segitiga






Penjelasan dan pembuktian rumus

Konsep dasar Trigono dan pembuktian bentuk dasar  ----- Lihat Penjelasn -----
Pembuktian rumus aturan Sinus  ----- Lihat Penjelasan -----
Pembuktian rumus aturan Cosinus  ----- Lihat Penjelasan -----
Pembuktian rumus jumlah dan selisih sudut I ( sin dan cos ) ----- Lihat penjelasanya -----
Pembuktian rumus jumlah dan selisih sudut II ( tan ) ----- Lihat penjelasanya -----
Pembuktian rumus sudut rangkap ----- Lihat penjelasanya -----



Untuk lebih memahamhi lebih lanjut tentang konsep dari geometri transformasi, berikut diberikan beberapa permasalahan yang dapat diselesaikan dengan konsep tersebut. 


--- Soal No 1 ---

Nyatakan sudut berikut dalam satuan derajat !

a. \frac{1}{2}\pi

b. \frac{2}{3}\pi

a.  \frac{1}{2}\pi=\frac{1}{2}.180^{o}=90^{o}

b. \frac{2}{3}\pi=\frac{2}{3}.180^{o}=120^{o}


Tidak ada komentar:

Posting Komentar